Vector de luz de cuatro velocidades

De "Un primer curso de relatividad general" :

2.3 Las cuatro velocidades

Un vector particularmente importante es el de cuatro velocidades de una línea universal. ... En nuestra geometría de cuatro definimos la velocidad de cuatro$\vec U$ser un vector tangente a la línea universal de la partícula, y de tal longitud que se alarga una unidad de tiempo en el marco de esa partícula.

El problema inmediato para el caso de un fotón es que no tiene marco. Schutz hace esto explícito aquí:

2.7 fotones

Sin cuatro velocidades . Los fotones se mueven en líneas nulas, entonces, para un camino de fotones,

$$\mbox{d}\vec x \cdot \mbox{d}\vec x = 0$$

Por lo tanto$\mbox{d}\tau$es cero y la Ec. (2.31)$[\vec U = \mbox{d}\vec x / \mbox{d}\tau]$muestra que la velocidad de cuatro no se puede definir. Otra forma de decir lo mismo es notar que no hay marco en el que la luz esté en reposo (el segundo postulado de SR), por lo que no hay MCRF para un fotón. Por lo tanto, no$\vec e_0$en cualquier marco será tangente a la línea de mundo de un fotón.

Tenga en cuenta que todavía es posible encontrar vectores tangentes a la trayectoria de un fotón (que, al ser una línea recta, tiene la misma tangente en todas partes):$\mbox{d}\vec x$es uno. El problema es encontrar una tangente de magnitud unitaria , ya que todas tienen magnitud nula.

Entonces, por lo anterior, la respuesta a su primera pregunta es: la velocidad de cuatro no está definida para los fotones .

Respuesta corta:

• Si el término "cuatro velocidades" se usa en el sentido estricto de$d x^\mu/d\tau$dónde$\tau$es el tiempo propio del objeto, entonces la velocidad de cuatro no está definida para la luz porque el tiempo propio transcurrido siempre es cero ($d\tau=0$) a lo largo de una línea de mundo similar a la luz.

• Si el término "cuatro velocidades" se usa en el sentido generalizado de$dx^\mu/d\lambda$dónde$\lambda$es un parámetro afín que aumenta monótonamente a lo largo de la línea de tiempo similar a la luz, entonces las cuatro velocidades están perfectamente definidas para la luz.

Entonces, la velocidad de cuatro es indefinida para la luz o está bien definida para la luz, dependiendo de lo que el hablante/escritor entienda por "velocidad de cuatro".

Así que en relatividad tenemos estas cosas llamadas cuatro vectores. Dejar$a$ser un cuatro vector, entonces en cualquier sistema de coordenadas dado tiene cuatro componentes:$a^w$en la dirección del tiempo$w=ct$,$a^{x,y,z}$en la dirección espacial.

Su magnitud al cuadrado se define por:

$$a_\mu a^\mu = (a^w)^2 - (a^x)^2 - (a^y)^2 - (a^z)^2.$$ Cuando esto es negativo decimos que el cuadrivector es "como el espacio" o cuando es positivo decimos que el cuatrivector es "como el tiempo", y cuando es cero decimos que es nulo o "ligero " . -como." Y luego, si es como un espacio, podemos tomar la raíz cuadrada normal y obtener un número imaginario, o tomar$\sqrt{-a_\mu a^\mu}$para obtener un número positivo que podemos llamar la magnitud; si es similar al tiempo, entonces la raíz cuadrada normal$\sqrt{a_\mu a^\mu}$es suficiente para obtener una magnitud de una magnitud al cuadrado. Al igual que las rotaciones conservan las longitudes de los vectores, las transformaciones de Lorentz conservan las magnitudes al cuadrado.

Cuatro velocidades es uno de estos cuatro vectores. Si elegimos el sistema de coordenadas correcto para que su velocidad de cuatro se encuentre a lo largo de, digamos, el$z$-eje, entonces para partículas se define como el vector

$$v^w = c \cosh \phi,\\ v^{x,y}=0,\\ v^z = c\sinh \phi,$$ por algún número$\phi$, y corresponde a algo que se mueve con velocidad$c\tanh\phi.$Estas funciones, si aún no las has encontrado, son las funciones hiperbólicas .

Reemplazando esto en la ecuación anterior da

$$v_\mu v^\mu = c^2(\cosh^2\phi - \sinh^2 \phi) = c^2,$$ de modo que la velocidad de cuatro siempre se normaliza a un valor constante , es similar al tiempo con magnitud$c$. De hecho, podrías imaginar que es el vector tangente que no es de cuatro vectores al movimiento de la partícula en el espacio-tiempo,$(c, 0, 0, c\tanh\phi)$, pero eso ha sido normalizado para tener una magnitud constante$c$, para que las transformaciones de Lorentz puedan conservar esta longitud.

Ahora bien, si toma este valor normalizado como parte de la definición de cuatro velocidades, esa es una opinión estética más que algo que las matemáticas le imponen. Pero hay una razón para estar preocupado.

Mira, no puedes normalizar un vector tangente similar a la luz en una velocidad normal de cuatro, porque su magnitud al cuadrado es cero. Entonces, si tienes el punto en el espacio-tiempo$(w,x,y,z) = (ct_0, x_0, y_0, z_0)$y le agregas un poco de tiempo$dt$a esto, un rayo de luz que se mueve desde ese punto en el$z$-la dirección está ahora en el punto$(ct_0 + c~dt, x_0, y_0, z_0 + c~dt)$y la diferencia entre esos dos puntos es un cuatro vector,

$$T^w = c~dt, T^{x,y} = 0, T^z = c~dt.$$ Sin embargo encontraríamos que$T_\mu T^\mu = 0$y no hay nada por lo que puedas multiplicarlo para darle una magnitud constante$c$.

Podrías responder a este hecho diciendo “¡esto es desastroso! ¡digamos que la luz no tiene cuatro velocidades!”, o en su lugar podría responder diciendo “está bien, pero esto es en realidad una bendición disfrazada, no significa que las normalizaciones no sean posibles sino que todas las normalizaciones son triviales , yo ¡Soy libre de elegir lo que quiera!”. Ambas respuestas tienen algo de mérito. Personalmente me inclino por el primero, por la siguiente razón: mi elección instintiva para el segundo es normalizar un vector tangente similar a la luz como$(c, 0, 0, c)$, por lo que la componente de tiempo es constante. Pero hay un problema con esta normalización: la transformada de Lorentz no la conservará . Transformará correctamente el vector, pero también tendré que volver a normalizarlo en el nuevo contexto. A mi personalmente no me gusta mucho ese aspecto.

Dicho esto, ocasionalmente hay razones para hacerlo. Lo más fácil sería si estuvieras pensando en cómo se ve el universo cuando te mueves a través de él: atraerías rayos nulos de todas las estrellas que puedes ver en este mismo segundo, hacia tu cara: y entonces sería bueno proyectar todo esto como si hubiera venido de una esfera de radio fijo$R$que te encuentras en el centro de: una "esfera celestial". Y esa es esencialmente la misma normalización que describí anteriormente cuando fijé el componente de tiempo en un valor fijo$c$. Luego, puede realizar un impulso de Lorentz en alguna dirección, por lo que la esfera se asigna a una esfera diferente, y puede proyectar la nueva esfera nuevamente en una nueva esfera de radio fijo$R$, descubriendo que todas las estrellas parecen haberse desplazado en el cielo como resultado de mi impulso (más específicamente: todas parecen haberse desplazado hacia la dirección en la que estaba acelerando). Un argumento similar sobre la luz que emito sugeriría que también se ha amontonado en esa dirección, lo que lleva a un fenómeno bien conocido llamado emisión relativista donde algo que emite luz la emite preferentemente en la dirección en la que viaja, ya que viaja más rápido. y más rápido