¿Varía el campo eléctrico con el área de la sección transversal en un conductor de corriente no uniforme?

Ahora según la ley de Ohm$\mathbf J=\sigma\mathbf E$, a medida que cambia la densidad de corriente, el campo eléctrico también debe cambiar con el área de la sección transversal. ¿Cómo es esto posible si el campo eléctrico es una propiedad de un punto en el espacio y mantenemos un campo uniforme a través del conductor?

No podemos mantener un campo eléctrico uniforme a través de dicho conductor porque su resistencia no es uniforme.

¿Cómo cambia el campo eléctrico con el área de la sección transversal?

Si tiene sección transversal$A$dependiendo de la distancia$d$desde el origen como

$$A = A(d)$$

la resistencia también dependerá de la distancia:

$$\textrm dR(d) = \frac 1 \sigma \frac{\textrm d \ell}{A(d)}$$

dónde$\textrm d\ell$es un elemento lineal del conductor y$\textrm dR(d)$es su resistencia.

Desde

$$V = IR$$

en un elemento lineal$\textrm d\ell$habrá una caída de potencial $\textrm d\varphi(d)$

$$\textrm d\varphi(d) = I \frac 1 \sigma \frac{\textrm d \ell}{A(d)}$$

Desde

$$\int\limits_a^b E\,\textrm d\ell = V$$

podemos escribir para la diferencia de potenciales en un elemento$\textrm d\ell$

$$E\, \textrm d\ell = \textrm d\varphi(d)$$

Por lo tanto

$$E = I \frac 1 {\sigma {A(d)}}$$

Esperemos que esto muestre que la intuición detrás del campo eléctrico no es uniforme.