Valor inicial de la ecuación de lazo cerrado

Question

Valor inicial de la ecuación de lazo cerrado

Física
comentario
bucle cerrado
bucle de control
amplificador operacional

Aakash

Estoy haciendo matemáticas para una ecuación de ciclo cerrado. Sé que la función de transferencia para un sistema de circuito cerrado es:

(Imagen copiada de "Loop Gain and its Effect on Analog Control Systems" de Gabino Alonso y Simon Bramble )

\begin{matrix} (Ecuación 1) & V_{o tu t} = GRAMO \times V_{i norte} \end{matrix}

$V_{out} = G \times V_{in} \tag {Eq 1}$

GRAMO = \frac{A}{1 + β A_{0}}

$G = \frac {A}{1 + \beta A_0}$

$A$ - ganancia de lazo abierto
$\beta$ - Factor de retroalimentación.

Ahora cuando hago los cálculos como

\begin{matrix} (Ecuación 2) & V_{o tu t} = A (V_{i norte} - β V_{o tu t}) \end{matrix}

$V_{out} = A(V_{in} - \beta V_{out}) \tag {Eq 2}$

¿Cuál es la inicial de Vout para empezar?

Los números de Vout con 1 y 2 no coinciden y el valor inicial de Vout está marcando una gran diferencia.

¿Por qué no coinciden?

Si A = 1000, B = 0,25, Vin = 1, Vout = 3,98;

>De la ecuación 1

Vsal = 1000/(1+0,25*1000) = 3,98

De Eq2

Vout_inicial = 0

Vsal = 1000*(1-0.25 x 0 ) = 1000

Vsal = 1000*(1-0.25 x 1000 ) = -249000

Vsal = 1000*(1-0.25 x -249000 ) = 62251000

Nunca se conforma, ¿qué estoy haciendo mal?

Si elijo A = 1; B = 0.1, los números de Eq1 y Eq2 eventualmente coinciden con 0.91

Vsal = 1*(1-0.1 x 0 ) = 1

Vsal = 1*(1-0.1 x 1 ) = 0.9

Vsal = 1*(1-0.1 x 0.9 ) = 0.91

y

Vsal = 1/(1+0,1*1) = 0,909

¿Qué está sucediendo? ¿Qué fundamentos me estoy perdiendo?

Transistor

Un esquema podría ser útil. Hay un botón en la barra de herramientas del editor. Haga doble clic en un componente para editar sus propiedades. Presiona Guardar e Insertar cuando hayas terminado. No necesita una cuenta de CircuitLab cuando se ejecuta desde SE.

G36

Intenta leer esto electronics.stackexchange.com/questions/441184/…

Chu

No es una ecuación iterativa.

Transistor

@Aakash, arreglé algunos faltantes ( )en Eq. 1 y convertí un par de líneas a MathJAX que sospecho que te encantarán. Puede continuar con el resto de la publicación, si lo desea.

Aakash

Gracias @Transistor, gran trabajo, esto se ve muy bien :)

Aakash

Hola @G36, utilicé las etiquetas Vout y Vin en mi pregunta, realmente no quiero incluir amplificadores operacionales en la imagen, solo el concepto básico de bucle de retroalimentación.

G36

El voltaje de salida nunca "saltará" de 0V a 1000V. El tiempo es necesario. Habrá una "rampa" en la salida. Además, a medida que el voltaje de salida aumenta de 0 V a 1000 V, el voltaje diferencial visto por la entrada del amplificador (Vdif = Vin - B*Vout) se hará cada vez más pequeño. Y el circuito alcanzará el equilibrio en Vout = 3.984V.

G36

Por ejemplo, en el tiempo 0s tenemos Vout = 0V y Vdif = 1V pero en el tiempo 1s tenemos Vout = 1V en la salida y Vfiff = 1V - 0.25*1V = 0.75V y en el tiempo 2s tenemos Vout = 2V y Vdiff = 1V - 0,25*2V = 0,5V. Y debido a que el Vdiff se vuelve cada vez más pequeño, la velocidad también será menor.

G36

También se debe señalar que cualquier voltaje de salida superior a 4V cambiará el signo de un voltaje Vdiff. Y esto hará que el voltaje de salida deje de aumentar y comience a disminuir en una dirección negativa hacia 0V.

Respuestas (1)

Valor inicial de la ecuación de lazo cerrado

Un esquema podría ser útil. Hay un botón en la barra de herramientas del editor. Haga doble clic en un componente para editar sus propiedades. Presiona Guardar e Insertar cuando hayas terminado. No necesita una cuenta de CircuitLab cuando se ejecuta desde SE.
Intenta leer esto electronics.stackexchange.com/questions/441184/…
@Aakash, arreglé algunos faltantes ( )en Eq. 1 y convertí un par de líneas a MathJAX que sospecho que te encantarán. Puede continuar con el resto de la publicación, si lo desea.
Hola @G36, utilicé las etiquetas Vout y Vin en mi pregunta, realmente no quiero incluir amplificadores operacionales en la imagen, solo el concepto básico de bucle de retroalimentación.
El voltaje de salida nunca "saltará" de 0V a 1000V. El tiempo es necesario. Habrá una "rampa" en la salida. Además, a medida que el voltaje de salida aumenta de 0 V a 1000 V, el voltaje diferencial visto por la entrada del amplificador (Vdif = Vin - B*Vout) se hará cada vez más pequeño. Y el circuito alcanzará el equilibrio en Vout = 3.984V.
Por ejemplo, en el tiempo 0s tenemos Vout = 0V y Vdif = 1V pero en el tiempo 1s tenemos Vout = 1V en la salida y Vfiff = 1V - 0.25*1V = 0.75V y en el tiempo 2s tenemos Vout = 2V y Vdiff = 1V - 0,25*2V = 0,5V. Y debido a que el Vdiff se vuelve cada vez más pequeño, la velocidad también será menor.
También se debe señalar que cualquier voltaje de salida superior a 4V cambiará el signo de un voltaje Vdiff. Y esto hará que el voltaje de salida deje de aumentar y comience a disminuir en una dirección negativa hacia 0V.

Chu · Answer 1

Estás tratando de formar una ecuación iterativa. Hay muchas maneras de hacerlo, a veces funciona, a veces no.

De esta manera funciona:

V_{o} = \frac{A}{1 + A B} V_{i}

$\small V_o=\frac{A}{1+AB}V_i$

agregar $\small V_o$ a ambos lados:

2 V_{o} = \frac{A}{1 + A B} V_{i} + V_{o}

$\small 2V_o=\frac{A}{1+AB}V_i +V_o$

Dividir por 2:

V_{o} = \frac{1}{2} (\frac{A}{1 + A B} V_{i} + V_{o})

$\small V_o=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{1+AB}V_i +V_o\right)$ Hazlo iterativo:

V_{o} [k] = \frac{1}{2} (\frac{A}{1 + A B} V_{i} + V_{o} [k - 1])

$\small V_o[k]=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{1+AB}V_i +V_o[k-1]\right)$

Dejar $\small A=1000; B=0.25; V_i=1$

V_{o} [k] = \frac{1}{2} (\frac{1000}{251} + V_{o} [k - 1])

$\small V_o[k]=\frac{1}{2}\left(\frac{1000}{251} +V_o[k-1]\right)$ por eso:

V_{o} [k] = \frac{500}{251} + \frac{V_{o} [k - 1]}{2}

$\small V_o[k]=\frac{500}{251} +\frac{V_o[k-1]}{2}$

Dejar $\small V_o[0]=0$ , luego resuelva iterativamente:

V_{o} [1] = 1.992

$\small V_o[1]=1.992$

V_{o} [2] = 2.988

$\small V_o[2]=2.988$

V_{o} [3] = 3.486

$\small V_o[3]=3.486$

V_{o} [4] = 3.735

$\small V_o[4]=3.735$ Esto converge a

V_{o} [k] = 3.984

$\small V_o[k]=3.984$ a las 17 iteraciones.

Curiosamente (?), un algoritmo de raíz cuadrada se puede formular de manera similar:

Dejar $\small y=\sqrt{x}$

y^{2} = X

$\small y^2=x$

y = \frac{X}{y}

$\small y=\frac{x}{y}$

2 y = \frac{X}{y} + y

$\small 2y=\frac{x}{y}+y$

y = \frac{1}{2} (\frac{X}{y} + y)

$\small y=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+y\right)$ Hacer iterativo:

y [k] = \frac{1}{2} (\frac{X}{y [k - 1]} + y [k - 1])

$\small y[k]=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y[k-1]}+y[k-1]\right)$

por ejemplo, dejar $\small x=9,\:y[0]=1$

y [1] = \frac{1}{2} (\frac{9}{1} + 1) = 5

$\small y[1]=\frac{1}{2}\left(\frac{9}{1}+1\right)=5$

y [2] = \frac{1}{2} (\frac{9}{5} + 5) = 3.4

$\small y[2]=\frac{1}{2}\left(\frac{9}{5}+5\right)=3.4$

y [3] = \frac{1}{2} (\frac{9}{3.4} + 3.4) = 3.0235

$\small y[3]=\frac{1}{2}\left(\frac{9}{3.4}+3.4\right)=3.0235$

y [4] = \frac{1}{2} (\frac{9}{3.0235} + 3.0235) = 3.00009

$\small y[4]=\frac{1}{2}\left(\frac{9}{3.0235}+3.0235\right)=3.00009$

"Hay muchas maneras de hacerlo, a veces funciona, a veces no", lo que está buscando es un mapa de contracción (como la nueva formulación para la iteración que encontró), y el uso de dicho mapa de contracción es encontrar un punto fijo del sistema $f(x^*)=x^*$ . Si $f()$ es un mapeo de contracción "cualquier" conjetura inicial converge al punto fijo.
Lo que @Chu está señalando no es cómo se comportará el sistema, sino una forma de calcular $V_{out}$ . Como usted mismo ha dicho, la salida será $V_{out}(t) = V_{in}(t) \frac {A}{1 + \beta A_0}$ . Su segundo "método", proviene de su percepción de que $V_{out} = A(V_{in} - \beta V_{out})$ es diferente a $V_{out}(t) = V_{in}(t) \frac {A}{1 + \beta A_0}$ (y no lo es), no tienes que adivinar $V_{out}(t)$ en cualquier momento, solo calcúlalo usando $V_{in}$ .
Genial, gracias chicos, creo que las matemáticas funcionan bien. Tengo curiosidad por saber qué sucederá con el bucle de control Vo en el instante en que se aplique Vi. Debe haber algún retraso antes de que el bucle pueda reaccionar. ¿Cómo se llama este retraso? ¿Cómo me entero de este retraso?
No es necesario que haya un retraso allí (en el modelo), especialmente para Op Amp y circuitos igualmente rápidos, modelando ese retraso y el comportamiento en el momento en que comienza a aplicar $V_i$ podría mostrar que rápidamente alcanza el valor que le indica la ecuación, probablemente sin siquiera oscilar. Pero si está interesado en retrasos más grandes que en realidad crean inestabilidades y comportamientos extraños, consulte los sistemas de tiempo discreto y users.ece.utexas.edu/~buckman/H3.pdf
Genial, tiene sentido. Si alguno de los bloques en el ciclo es una unidad compleja (matemáticamente hablando), comenzaremos a notar retrasos y sus efectos. Gracias @jDAQ.
No tiene nada que ver con los números complejos, si hay retrasos, verá retrasos, y los retrasos pueden generar bucles de retroalimentación inestables si su control es "demasiado rápido".

Valor inicial de la ecuación de lazo cerrado

Aakash

Transistor

G36

Chu

Transistor

Aakash

Aakash

G36

G36

G36

Respuestas (1)

Chu

jDAQ

Aakash

jDAQ

Aakash

jDAQ

Aakash

jDAQ

Aakash

¿Por qué se satura el voltaje de salida opamp?

¿Cómo compensa la resistencia de compensación en un amplificador inversor la corriente de polarización de entrada?

Cambio de fase individual proporcionado por Op-Amp en configuración de circuito cerrado

¿Por qué un girador es una retroalimentación negativa?

Seguidor de voltaje - OPAMP

¿Cómo tomo la mayor de dos señales analógicas?

Retraso y Estabilidad en Sistemas de Retroalimentación Negativa: Confusión

Manipulación del voltaje de salida de la fuente de alimentación conmutada a través del nodo de retroalimentación

Invertir OpAmp con divisor de voltaje en bucle de retroalimentación

Pregunta sobre la velocidad de giro