Validez de calcular ingenuamente la longitud de onda de De Broglie de un objeto macroscópico

Si ha leído sobre experimentos de difracción óptica como las rendijas de Young, es posible que haya notado que todos se refieren a luz coherente . Este es el requisito de que toda la luz del experimento esté en fase. Si no está utilizando luz coherente, no observará ninguna difracción porque diferentes partes de la luz se difractarán de manera diferente y el patrón de difracción se borrará.

Exactamente lo mismo se aplica a la observación del comportamiento ondulatorio de los objetos cuánticos. Si está difractando electrones, esto no es un problema, pero si está tratando de difractar una bala, necesita que todas las partes de la bala sean coherentes. En principio, podría preparar una viñeta en un estado coherente, pero incluso si pudiera lograrlo, la viñeta se decoherenciaría inmediatamente debido a las interacciones con su entorno. Este proceso se conoce como decoherencia cuántica . He vinculado un artículo de Wikipedia, pero tenga en cuenta que el artículo no está bien escrito para los que no son nerds. Si desea saber más, será mejor que busque en Google artículos de divulgación científica sobre decoherencia.

De todos modos, como obviamente sospechaste por la forma en que redactaste tu pregunta, debido a la decoherencia no tiene sentido hablar de una sola longitud de onda de De Broglie para objetos macroscópicos como balas. Hasta donde yo sé, el objeto más grande que jamás haya mostrado un comportamiento cuántico es un oscilador construido por el grupo de Andrew Cleland en Santa Bárbara. Esto fue alrededor de 50 a 100 micrones de tamaño, que en realidad es bastante grande. Sin embargo, esto es algo así como un caso especial y tomó mucho cuidado para construir. Un límite superior más realista es una bola de Bucky , que tiene un tamaño de alrededor de un nanómetro.

La fórmula de longitud de onda de De Broglie es válida para un objeto no fundamental (muchos cuerpos). La razón es que para un sistema de traducción invariante de partículas que interactúan, el centro de la dinámica de masas se puede separar de la dinámica interna. En consecuencia, la solución de la ecuación de Schrödinger se puede obtener mediante la separación de variables y el componente del centro de masa de la función de onda simplemente satisface una ecuación de Schrödinger libre (con el parámetro de masa total). Aquí hay algunos detalles:

Considere un sistema no relativista de muchos cuerpos cuya dinámica está gobernada por el hamiltoniano:

$\hat{H} = \hat{K} + \hat{V} = \sum_i \frac{\hat{p}_i^2}{2m_i} + V(x_i)$

($K$es la cinética y$V$las energías potenciales respectivamente). En el caso de traducción invariante, el potencial$V$es una función de los desplazamientos relativos de los cuerpos individuales y no de sus valores absolutos. En este caso, la dinámica del centro de masa se puede separar del movimiento relativo ya que el término cinético se puede escribir como:

$\hat{K} = \frac{\hat{P}^2}{2M} + \hat{K'}$

Dónde$P$es el momento total y$M$es la masa total.$K'$es el término cinético reducido. En el caso de un problema de dos cuerpos, por ejemplo, el átomo de hidrógeno$K'$tiene una buena fórmula en términos de la masa reducida, para un mayor número de partículas, la$K'$La fórmula es menos agradable, pero el punto esencial es que depende solo de los momentos relativos.

Para este tipo de hamiltoniano (sin fuerzas externas), la ecuación de Schrödinger se puede resolver por separación de variables:

$\psi(x_i) = \Psi(X) \psi'(\rho_i)$

Dónde$X$es la coordenada del centro de masa, y$\rho_i$es una colección de las coordenadas relativas.

Después de la separación de variables, la función de onda del centro de masa satisface la ecuación libre de Schrödinger:

$-\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_X^2\Psi(X) = E \Psi(X)$

Cuya solución (correspondiente a la energía$E = \frac{p^2}{2M}$) tiene la forma:

$\Psi(X) \sim exp(i \frac{p X}{\hbar})$

a partir del cual se puede leer la longitud de onda de De Broglie

$\lambda = \frac{2 \pi \hbar}{p}$

"Pero, ¿la respuesta ingenua se acerca a la real?"

No hay "uno real": la fórmula de De Broglie define la longitud de onda de De Broglie para el cuerpo de masa$m$. Es útil para la descripción de partículas microscópicas que se observa que exhiben fenómenos de difracción y los valores de los electrones parecen estar de acuerdo con el patrón de difracción medido experimentalmente.

No se observó que los cuerpos de 100 g exhibieran fenómenos de difracción. De acuerdo con la fórmula de De Broglie, su longitud de onda es tan corta que la difracción de la onda sería inobservable, por lo que la fórmula no fue refutada. Pero tampoco es útil.

Acabo de pasar unas horas investigando esta pregunta, y me parece que:

Es importante entender qué significa que una partícula tenga una longitud de onda. Este gran enlace tiene más información ( http://electron6.phys.utk.edu/phys250/modules/module%202/matter_waves.htm ) Enfáticamente no significa que si tuviéramos que aislar de alguna manera la partícula y ponerla en movimiento con alguna velocidad v, se movería sinusoidalmente en el espacio en función del tiempo. La idea clave es que aunque la relación de deBroglie sobre la longitud de onda se aplica tanto a los fotones como a otras partículas, ¡ significa algo diferente en ambos casos ! Para el fotón, tiene un sentido bastante intuitivo: se refiere a la onda EM que es el fotón. ¿Qué pasa con otras partículas?

La longitud de onda se refiere a la función de onda de la partícula, que, según la interpretación estadística, indica la probabilidad de encontrar la partícula en una determinada posición x ( http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/uncer.html# c5 ). El enlace anterior también tiene sentido de lo que significa hablar sobre la longitud de onda de una partícula (si la longitud de onda no es sinusoidal, básicamente, toma algún tipo de promedio).

¿Un objeto macroscópico, como la bala antes mencionada, tiene una longitud de onda? Creo que sí, ya que podemos tomar todas las partículas individuales y considerar las interacciones entre todas las partículas en la bala (dándonos enredos y demás). Podemos imaginar que la bala tiene una función de onda complicada que describe la probabilidad de que se encuentre en alguna parte. Este es el punto en el que no estoy seguro, pero el punto más importante es que en realidad no importa, ya que el objeto no vive aislado del medio ambiente. La idea es que se decoherencia por interacción con el entorno (una excelente descripción aquí: www.ipod.org.uk/reality/reality_decoherence.asp), lo que básicamente significa que el entorno actúa de manera diferente en cada parte de la bala, por lo que incluso si la bala podría haber actuado originalmente como un sistema cuántico, ya no lo hace después de una medición (es decir, cuando lo vemos). Por lo tanto, no tiene sentido hablar ahora de la longitud de onda de la bala, ya que realmente debemos considerarla como parte de un sistema más grande, la bala más el medio ambiente.