En la teoría de la elasticidad, se puede derivar una ecuación de onda a partir de la ecuación fundamental de movimiento para un medio isotrópico homogéneo lineal elástico:
Pero en la tradición de la sismología, se introducen potenciales escalares y vectoriales para los componentes P y S de los desplazamientos, se derivan ecuaciones de onda para ellos y se utilizan.
Ahora, en electrodinámica puedes derivar de las ecuaciones de Maxwell las ecuaciones de onda para Campos y Potenciales; pero ahí usas los potenciales porque componen un cuadrivector. En geofísica, ¿cuál es la conveniencia de ello?
Creo que los potenciales en las ecuaciones de Maxwell se introdujeron originalmente para simplificar la resolución de ecuaciones; no fue hasta un poco más tarde que se notó la simetría de Lorentz. También se introducen potenciales similares en la hidrodinámica 2D, véase, por ejemplo, la función de corriente . Así que diría que la razón para introducir estos potenciales originalmente siempre fue simplificar el álgebra.
Por supuesto, cada vez que uno tiene un buen truco como este, hay una razón más profunda. Aquí, la "razón más profunda" para introducir varios potenciales tiene que ver con la descomposición de Helmholtz (aún más profunda, proveniente de la descomposición de Hodge ), que garantiza que los campos vectoriales se pueden escribir como la suma de un campo vectorial libre de rotaciones y una divergencia. campo de vector libre. Esta descomposición "juega bien" con las ecuaciones de onda en el sentido de que hay modos de onda naturales, transversales (sin divergencia) y longitudinales (sin curvatura) que se propagan de forma independiente. Ver la discusión de transversal y longitudinal, es decir, la aplicación de la descomposición de Helmholtz a una transformada de Fourier de un campo vectorial, que obviamente es muy aplicable a las ondas P (longitudinales) y S (transversales) en sismología.
Intuitivamente, la idea de la descomposición de Helmholtz es un poco como dividir un vector en componentes independientes y luego calcular lo que sucede con cada uno por separado, excepto que ahora se trabaja con campos vectoriales.
Además, agregando a lo que dice jc:
Si tiene una relación constitutiva complicada entre el campo eléctrico y el campo de desplazamiento eléctrico, por ejemplo, no lineal y en términos de convolución (sin reacción instantánea del medio), puede ser muy complicado encontrar una representación en términos de potenciales que obedecen a una onda. ecuación usando un ansatz no perturbativo.
jc