Uso de la tercera ley de newton en problemas de electromagnetismo y relatividad especial

La Tercera Ley de Newton tiene algunas sutilezas engañosas en electrodinámica. Esto se debe a que la Tercera Ley de Newton es en realidad un enunciado sobre la conservación de la cantidad de movimiento de un sistema cerrado: si$\vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21}$en un sistema aislado de dos partículas, entonces$\dot{\vec{p}}_1 = - \dot{\vec{p}}_2$y por lo que el momento total es una constante. El problema de aplicar este concepto en electrodinámica es que el "sistema" que debe tener en cuenta son las cargas y los campos electromagnéticos, y los campos electromagnéticos pueden llevar impulso.

El ejemplo estándar donde la Tercera Ley de Newton no se cumple (considerando solo las cargas) es cuando tenemos una carga moviéndose en dirección positiva a lo largo de la$x$-eje, y otra carga que se mueve en la dirección positiva a lo largo del$y$-eje. Incluso en el límite de baja velocidad, ambas cargas ejercerán fuerzas magnéticas entre sí. Todavía podemos ver que mientras las fuerzas eléctricas que una carga ejerce sobre la otra serán iguales y opuestas entre sí, las fuerzas magnéticas estarán en direcciones completamente diferentes. Si he hecho mis reglas de la mano derecha correctamente, la fuerza sobre la carga en el$x$-el eje estará en el positivo$y$-dirección, mientras que la fuerza sobre la carga sobre el$y$-el eje estará en el positivo$x$-dirección. Esto significa que tendría que aplicar una fuerza neta a las cargas (vistas como un sistema) para mantenerlas en movimiento a una velocidad constante, lo que parecería violar la Primera Ley de Newton.

La paradoja se resuelve asignando el nombre de "densidad de momento de campo" a la cantidad$\epsilon_0 \vec{E} \times \vec{B}$, y (a través de dosis heroicas de álgebra vectorial) mostrando que si consideramos el cambio en esta cantidad integrada en algún volumen, el flujo de esta cantidad dentro o fuera de este volumen, y el momento mecánico de las cargas, entonces este " combinado se conserva la noción" de cantidad de movimiento . Pero esto significa que si la integral de$\vec{E} \times \vec{B}$sobre el espacio está cambiando con respecto al tiempo o tiene un flujo distinto de cero fuera del volumen que estamos considerando, no podemos esperar que el momento mecánico del sistema sea constante, y la Tercera Ley de Newton no se cumplirá. Por el contrario, si la cantidad de movimiento del campo es constante en algún volumen y el flujo de cantidad de movimiento fuera de este volumen es cero, entonces se cumplirá la Tercera Ley de Newton .

Puede usar las leyes de Newton siempre que las velocidades no sean relativistas ($v \ll c$, dónde$c$es la velocidad de la luz). Las correcciones relativistas completas serán de orden$v/c$y poderes superiores. Por ejemplo, si usa la tercera ley de Newton y luego transforma Lorentz a otro marco, entonces, en el nuevo marco, la tercera ley de Newton no se cumplirá en general debido a algunos$v/c$diferencias que aparecen. Cuando$v \ll c$estas diferencias son insignificantes y esta es la razón por la que la mecánica newtoniana es una descripción válida de la naturaleza solo a bajas velocidades.

Supongo que esta es una pregunta sobre cuándo se puede usar la tercera ley de Newton.

Se puede usar cuando los retrasos de tiempo no causan problemas. Por lo tanto, se puede utilizar con fuerzas constantes. Y se puede utilizar con distancias cortas.

Por ejemplo, en esta situación se puede usar la tercera ley de Newton: hay una placa cargada infinita que se mueve en la dirección +x con velocidad V1, y una carga q que se mueve en la dirección -x con velocidad V2, y queremos saber qué fuerza aplica la carga sobre la placa en el marco de referencia de la placa.

En el marco de la placa, la placa ejerce una fuerza F sobre la carga, y en ese mismo marco, la carga ejerce una fuerza opuesta sobre la placa.

En cualquier marco ese par de fuerzas está en equilibrio.

Los diferentes marcos pueden estar muy en desacuerdo acerca de qué tan grande es el área de la placa que siente la fuerza de la carga en un momento. (Debido a la contracción de la longitud)