Uso de la constante de estructura fina para medir tamaños atómicos y moleculares

Esta es una especie de pregunta de trabajo de curso, pero trae algunas cosas realmente interesantes sobre la constante de estructura fina$\alpha$así que quería publicarlo no solo para asegurarme de que entendía algo, sino también para entrar en otras ideas.

Entonces, la pregunta: se nos pide que demuestremos que la proporción de la longitud de onda de un fotón emitido por un átomo y su tamaño está relacionada a su vez con$\alpha$. Se me ocurrió lo siguiente:

para un átomo similar al hidrógeno (usando el modelo de Bohr)

$$r = \frac{n^2 \hbar^2} {Zm_e k e^2}$$ o, en términos del radio de Bohr, $r= \frac{n^2r_0}{Z}$dónde $k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$

Ahora, la energía de un átomo es$E=\frac{kZe^2}{2r}$(Puedo obtener esto del teorema de Virial) y r en este caso es el radio que tenemos antes.

Enchufando uno en el otro tenemos

$$E=\frac{kZe^2}{2 \frac{n^2 \hbar^2} {Zm_e k e^2}}=\frac{k^2Z^2e^4 m_e}{2 n^2 \hbar^2}$$ desde $E=h \nu = hc/ \lambda$tenemos $$\frac{hc}{\lambda}=\frac{k^2Z^2e^4 m_e}{2 n^2 \hbar^2}$$

Ahora, la constante de estructura fina$\alpha = \frac{ke^2}{\hbar c}$y eso convierte esto en

$$\frac{1}{\lambda}=\frac{k^2Z^2e^4 m_e}{2 n^2 \hbar^2 hc}=\alpha^2 \frac{\pi Z^2 m_ec}{ n^2 \hbar}$$ y multiplicando la r original por eso: $$\frac{n^2 \hbar^2} {Zm_e k e^2}\alpha^2 \frac{\pi Z^2 m_ec}{ n^2 \hbar}=\alpha \pi Z = \frac{r}{\lambda}$$

lo que me dice que la relación entre el tamaño y la longitud de onda depende completamente de Z y$\alpha$.

También conecté esto a la ecuación de cambio de energía,

$$\Delta E = -Z^2 \frac{ke^2}{2r_0} \left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)$$ y enchufando lo que tenemos para $r_0$:

$r_0=\frac{\hbar^2}{m_eke^2}\rightarrow-Z^2 \frac{ke^2}{2(\frac{\hbar^2}{m_eke^2})} \left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)\rightarrow -Z^2\frac{k^2e^4m_e}{2\hbar^2}\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)\rightarrow -Z^2\frac{\alpha^2c^2m_e}{2}\left(\frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2}\right)=\Delta E$

Ahora, suponiendo que hice esto correctamente, ¿se aplicaría lo mismo a una molécula? Es decir, dada una longitud de onda, creo que simplemente la conectarías de nuevo a la ecuación de energía (usando$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$y obtener una estimación del tamaño. Pero estaba comprobando si mi lógica era correcta.

La otra cosa interesante para mí es cómo se podría usar$\alpha$en otras formas interesantes para problemas como este.

De todos modos, si alguien puede decir que hice algo tonto, se lo agradezco mucho. Solo quiero ver si mi lógica es correcta.