Universo plano y proporciones cambiantes de energía/materia

La densidad general disminuye a medida que el universo se expande, pero también lo hace la densidad crítica. Específicamente, una de las ecuaciones de Friedmann se puede escribir como

$$\dot{a}^2 -\frac{8\pi G}{3}\rho a^2= -kc^2,$$ donde el factor de escala $a(t)$describe la expansión del universo, $\rho$es la densidad de masa total (radiación, materia bariónica, materia oscura y energía oscura) y el entero constante $k$puede tener los valores $k = 1$, $0$o $-1$para curvatura positiva, cero o negativa respectivamente. Podemos reescribir esto como $$H^2\left(1 - \frac{\rho}{\rho_\text{c}}\right) = -\frac{kc^2}{a^2},\tag{1}$$ con $H(t) = \dot{a}/a$el parámetro de Hubble y $$\rho_\text{c}(t) = \frac{3H^2(t)}{8\pi G}$$ la densidad crítica. Entonces $\rho_\text{c} \sim H^2$. Desde $k$es una constante, el signo de la curvatura del universo no puede cambiar. Por un universo plano, $k=0$y $\rho \equiv \rho_\text{c}$en todo momento.

¿Qué pasa si el universo no es plano? Para esto, necesitamos saber cómo$H(t)$cambia con el tiempo. El día de hoy se corresponde con$a=1$, de modo que

$$H_0^2\left(1 - \frac{\rho_0}{\rho_\text{c,0}}\right) = -kc^2,$$ y por lo tanto $$H^2\left(1 - \frac{\rho}{\rho_\text{c}}\right) = H_0^2\left(1 - \frac{\rho_0}{\rho_\text{c,0}}\right)a^{-2},$$ que se puede escribir en términos de las densidades de radiación, materia y energía oscura como $$H^2\left(1 - \Omega_{R} - \Omega_{M} - \Omega_{\Lambda}\right) = H_0^2\left(1 - \Omega_{R,0} - \Omega_{M,0} - \Omega_{\Lambda,0}\right)a^{-2}.$$ Asumiré una energía oscura constante cosmológica. Usando la notación abreviada $\Omega_{K}= 1 - \Omega_{R} - \Omega_{M} - \Omega_{\Lambda}$, la ecuación toma la forma $$H^2\,\Omega_{K} = H_0^2\,\Omega_{K,0}\,a^{-2}.\tag{2}$$ Un universo plano se corresponde con $\Omega_{K} = 0$. Desde $$\begin{align} \Omega_{R} &= \frac{\rho_{R}}{\rho_{c}} = \frac{\rho_{c,0}}{\rho_{c}}\frac{\rho_{R,0}\,a^{-4}}{\rho_{c,0}} = \frac{H_0^2}{H^2}\Omega_{R,0}\,a^{-4}\\ \Omega_{M} &= \frac{\rho_{M}}{\rho_{c}} = \frac{\rho_{c,0}}{\rho_{c}}\frac{\rho_{M,0}\,a^{-3}}{\rho_{c,0}} = \frac{H_0^2}{H^2}\Omega_{M,0}\,a^{-3}\\ \Omega_{\Lambda} &= \frac{\rho_{\Lambda}}{\rho_{c}} = \frac{\rho_{c,0}}{\rho_{c}}\frac{\rho_{\Lambda}}{\rho_{c,0}} = \frac{H_0^2}{H^2}\Omega_{\Lambda,0}, \end{align}$$ podemos resolver la ecuación (2) para $H^2$: $$H^2 = H_0^2\left(\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}\right),$$ de modo que $$\Omega_{K} = \frac{\Omega_{K,0}\,a^{-2}}{\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}.$$ Esto tiene dos consecuencias notables:

1. En tiempos tempranos,$a\rightarrow 0$, y

   $$\Omega_{K} \approx \frac{\Omega_{K,0}}{\Omega_{R,0}}a^2 \rightarrow 0.$$ En otras palabras, el universo primitivo debe haber sido casi plano. Esto se conoce como el problema de la planitud y es una de las motivaciones de la teoría de la inflación.

2. En tiempos tardíos,$a\rightarrow \infty$, y

   $$\Omega_{K} \approx \frac{\Omega_{K,0}}{\Omega_{\Lambda,0}}a^{-2} \rightarrow 0,$$ así que la energía oscura en realidad está empujando al universo hacia una geometría plana (nuevamente).

Conclusión: la geometría del universo es exactamente plana y seguirá siéndolo, o se está volviendo cada vez más plana debido a la energía oscura.