Un sistema de dos niveles bajo Ito-calculus

Question

Un sistema de dos niveles bajo Ito-calculus

Zhuoran él

Estoy considerando la evolución de un sistema cuántico de dos niveles dado por

i (\begin{matrix} {\dot{C}}_{1} \\ {\dot{C}}_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} mi & Δ (t) \\ Δ (t) & - \frac{1}{2} mi \end{matrix}) (\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \end{matrix}) .

$i\begin{pmatrix}\dot{c}_1\\ \dot{c}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}E & \Delta(t)\\\Delta(t) & -\frac{1}{2}E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}.$

Si $\,\Delta(t)\,$ es periódica, el modelo da oscilaciones de Rabi. Pero ahora estoy considerando la función. $\,\Delta(t)\,$ para ser un verdadero ruido blanco gaussiano satisfactorio

⟨ Δ (t) ⟩ = 0, ⟨ Δ (t) Δ (t^{'}) ⟩ = Γ^{2} d (t - t^{'}) .

$\langle\Delta(t)\rangle=0,\quad\langle\Delta(t)\Delta(t')\rangle=\Gamma^2\delta(t-t').$

En términos del proceso estándar de Wiener $W_t$ , la ecuación de Schrödinger se convierte en

\begin{aligned} i d C_{1} & = \frac{1}{2} mi C_{1} d t + Γ C_{2} d W_{t}, \\ i d C_{2} & = Γ C_{1} d W_{t} - \frac{1}{2} mi C_{2} d t, \end{aligned}

$\begin{align} idc_1&=\frac{1}{2}Ec_1dt+\Gamma c_2dW_t,\\ idc_2&=\Gamma c_1dW_t-\frac{1}{2}Ec_2dt, \end{align}$

donde ambos $c_1dW_t$ y $c_2dW_t$ están en el sentido Ito, lo que significa que $c_1$ y $c_2$ están en $t$ y $dW_t$ es durante $[t,t+dt]$ . Luego voy a la imagen de interacción.

{\tilde{C}}_{1} = C_{1} {mi}^{\frac{i}{2} mi t}, {\tilde{C}}_{2} = C_{2} {mi}^{- \frac{i}{2} mi t},

$\tilde{c}_1=c_1e^{\frac{i}{2}Et},\quad\tilde{c}_2=c_2e^{-\frac{i}{2}Et},$

de modo que $\tilde{c}_1$ y $\tilde{c}_2$ no evoluciones cuando $\,\Gamma=0$ . En general, satisfacen

\begin{aligned} i d {\tilde{C}}_{1} & = Γ {\tilde{C}}_{2} {mi}^{i mi t} d W_{t}, \\ i d {\tilde{C}}_{2} & = Γ {\tilde{C}}_{1} {mi}^{- i mi t} d W_{t} . \end{aligned}

$\begin{align} id\tilde{c}_1&=\Gamma\tilde{c}_2e^{iEt}dW_t,\\ id\tilde{c}_2&=\Gamma\tilde{c}_1e^{-iEt}dW_t. \end{align}$

Ahora, ¿cómo procedo desde aquí para expresar $\tilde{c}_1$ y $\tilde{c}_2$ en términos de alguna integral de $W_t$ ? También me pregunto si obtengo decoherencia o solo oscilación Rabi porque el sistema absorbe la frecuencia de forma selectiva. $E\,$ del ruido $W_t$ .

Zhuoran él

no es tarea...

Zhuoran él

Bien. Haz que parezca más fácil para que la gente pueda resolverlo.

Respuestas (1)

Un sistema de dos niveles bajo Ito-calculus

Bien. Haz que parezca más fácil para que la gente pueda resolverlo.

Raskolnikov · Answer 1

Para resolver estas ecuaciones

\begin{aligned} i d {\tilde{C}}_{1} & = Γ {\tilde{C}}_{2} {mi}^{i mi t} d W_{t}, \\ i d {\tilde{C}}_{2} & = Γ {\tilde{C}}_{1} {mi}^{- i mi t} d W_{t} . \end{aligned}

$\begin{align} id\tilde{c}_1&=\Gamma\tilde{c}_2e^{iEt}dW_t,\\ id\tilde{c}_2&=\Gamma\tilde{c}_1e^{-iEt}dW_t. \end{align}$

veamos si podemos encontrar un par de funciones $F_1(t,x)$ y $F_2(t,x)$ tal que $\tilde{c}_1=F_1(t,W_t)$ y $\tilde{c}_2=F_2(t,W_t)$ . Conectando estos en las fórmulas que tenemos

\begin{aligned} i d F_{1} (t, W_{t}) & = Γ F_{2} (t, W_{t}) {mi}^{i mi t} d W_{t}, \\ i d F_{2} (t, W_{t}) & = Γ F_{1} (t, W_{t}) {mi}^{- i mi t} d W_{t} . \end{aligned}

$\begin{align} idF_1(t,W_t)&=\Gamma F_2(t,W_t) e^{iEt}dW_t,\\ idF_2(t,W_t)&=\Gamma F_1(t,W_t) e^{-iEt}dW_t. \end{align}$

Ahora aplicamos el cálculo de Itô a las diferenciales

\begin{aligned} i [F_{1 t} (t, W_{t}) d t + F_{1 X} (t, W_{t}) d W_{t} + 1 / 2 F_{1 X X} (t, W_{t}) d t] & = Γ F_{2} (t, W_{t}) {mi}^{i mi t} d W_{t}, \\ i [F_{2 t} (t, W_{t}) d t + F_{2 X} (t, W_{t}) d W_{t} + 1 / 2 F_{2 X X} (t, W_{t}) d t] & = Γ F_{1} (t, W_{t}) {mi}^{- i mi t} d W_{t} . \end{aligned}

$\begin{align} i[F_{1t}(t,W_t)dt+F_{1x}(t,W_t)dW_t+1/2F_{1xx}(t,W_t)dt]&=\Gamma F_2(t,W_t) e^{iEt}dW_t,\\ i[F_{2t}(t,W_t)dt+F_{2x}(t,W_t)dW_t+1/2F_{2xx}(t,W_t)dt]&=\Gamma F_1(t,W_t) e^{-iEt}dW_t.\end{align}$

En estos, las letras en la notación de índice son abreviaturas de derivadas parciales con las variables correspondientes. Por lo tanto, obtenemos las siguientes ecuaciones diferenciales parciales

\begin{aligned} F_{1 t} (t, X) + 1 / 2 F_{1 X X} (t, X) & = 0, \\ F_{2 t} (t, X) + 1 / 2 F_{2 X X} (t, X) & = 0, \\ i F_{1 X} (t, X) & = Γ F_{2} (t, X) {mi}^{i mi t}, \\ i F_{2 X} (t, X) & = Γ F_{1} (t, X) {mi}^{- i mi t} . \end{aligned}

$\begin{align} F_{1t}(t,x)+1/2F_{1xx}(t,x) & = 0, \\ F_{2t}(t,x)+1/2F_{2xx}(t,x) & = 0, \\ iF_{1x}(t,x)& = \Gamma F_2(t,x) e^{iEt},\\ iF_{2x}(t,x)& = \Gamma F_1(t,x) e^{-iEt}. \end{align}$

Tomando la derivada de $x$ de la tercera ecuación y multiplicando por $i$ obtenemos

- F_{1 X X} (t, X) = Γ i F_{2 X} (t, X) {mi}^{i mi t} = Γ^{2} F_{1} (t, X)

$-F_{1xx}(t,x) = \Gamma iF_{2x}(t,x) e^{iEt}=\Gamma^2 F_1(t,x)$

donde en el último paso sustituyo en la cuarta ecuación. Finalmente reemplazando esto en la primera ecuación obtenemos

F_{1 t} (t, X) = \frac{Γ^{2}}{2} F_{1} (t, X)

$F_{1t}(t,x)=\frac{\Gamma^2}{2}F_1(t,x)$

que es una fácil ecuación diferencial parcial lineal de primer orden en $t$ . La solucion es

F_{1} (t, X) = A (X) {mi}^{Γ^{2} t / 2} .

$F_1(t,x)=A(x)e^{\Gamma^2 t/2} \; .$

Con $A(x)$ alguna función para determinar a partir de las otras ecuaciones. Por ejemplo, llenando el resultado para $F_1$ en la primera fórmula, obtenemos la siguiente ecuación diferencial para $A(x)$ :

A_{X X} (X) + Γ^{2} A (X) = 0

$A_{xx}(x)+\Gamma^2 A(x)=0$

cuyas soluciones son

A (X) = B {mi}^{i Γ X} + D {mi}^{- i Γ X}

$A(x)=Be^{i\Gamma x}+De^{-i\Gamma x}$

y por lo tanto

F_{1} (t, X) = (B {mi}^{i Γ X} + D {mi}^{- i Γ X}) {mi}^{Γ^{2} t / 2}

$F_1(t,x)=(Be^{i\Gamma x}+De^{-i\Gamma x})e^{\Gamma^2 t/2}$

y de la misma manera

F_{2} (t, X) = (- B {mi}^{i Γ X} + D {mi}^{- i Γ X}) {mi}^{(Γ^{2} / 2 - i mi) t} .

$F_2(t,x)=(-Be^{i\Gamma x}+De^{-i\Gamma x})e^{(\Gamma^2/2-iE) t} \; .$

De este modo

\begin{aligned} {\tilde{C}}_{1} & = (B {mi}^{i Γ W_{t}} + D {mi}^{- i Γ W_{t}}) {mi}^{Γ^{2} t / 2}, \\ {\tilde{C}}_{2} & = (- B {mi}^{i Γ W_{t}} + D {mi}^{- i Γ W_{t}}) {mi}^{(Γ^{2} / 2 - i mi) t} . \end{aligned}

$\begin{align} \tilde{c}_1 & =(Be^{i\Gamma W_t}+De^{-i\Gamma W_t})e^{\Gamma^2 t/2} \; , \\ \tilde{c}_2 & =(-Be^{i\Gamma W_t}+De^{-i\Gamma W_t})e^{(\Gamma^2/2-iE) t} \; . \end{align}$

Creo que uno puede mostrar $|\tilde{c}_1|^2+|\tilde{c}_2|^2=\mathrm{const}$ , por lo que las amplitudes de probabilidad no deberían crecer exponencialmente. Pero probaré la idea de $\tilde{c}_i=F_i(t,W_t), i=1,2$ .
También me pareció extraño, pero podría haber un error de señal en alguna parte. Además, acabo de notar una discrepancia en su formulación donde el cambio en la imagen de interacción tiene un $1/2$ en los exponentes, pero esos no aparecen en sus ecuaciones a continuación.
Noté un error en mi cálculo. olvidé un $1/2$ factor yo mismo. voy a arreglarlo
De hecho $\tilde{c}_i=F_i(t,W_t)$ es una suposición muy fuerte. asume $\tilde{c}_i$ no depende de antes $W_{t'}$ con $t'<t$ . Si conecta su solución a la ecuación y encuentra que realmente funciona, entonces está bien. De lo contrario, la solución debería ser de alguna forma integral.
Ese es un buen punto, pero no creo que sea el problema aquí.
Descubrí cuál es el problema. Ambos estábamos tan seguros de que $|\tilde{c}_1|^2+|\tilde{c}_2|^2=\mathrm{const}$ , pero en realidad no es cierto. Con el lema de Itô, puedes demostrar que $d|\tilde{c}_1|^2= \tilde{c}_1^*d\tilde{c}_1+\tilde{c}_1d\tilde{c}_1^*+d\tilde{c}_1d\tilde{c}_1^*=\tilde{c}_1^*d\tilde{c}_1+\tilde{c}_1d\tilde{c}_1^*+\Gamma^2|\tilde{c}_2|^2dt$ y del mismo modo para $d|\tilde{c}_2|^2$ . esto le dará $d(|\tilde{c}_1|^2+|\tilde{c}_2|^2)=\Gamma^2(|\tilde{c}_1|^2+|\tilde{c}_2|^2)dt$ lo cual es consistente con mi respuesta.
Gracias. También me di cuenta de esto. A la ecuación de Schrödinger le falta el $dt^2$ término de $\exp(-iH(\Delta)dt)$ porque $\Delta\sim\mathcal{O}(dt^{-1/2})$ . Entonces el estado permanece normalizado.
La decoherencia ocurre en el sentido de conjunto. Para cada trayectoria aleatoria individual, el spin- $1/2$ el estado puro sigue siendo un estado puro bajo evoluciones unitarias. Pero como el ruido es desconocido, el estado final es una mezcla aleatoria de muchas posibilidades, perdiendo así coherencia. El mejor formalismo para manejar la mezcla aleatoria es usar operadores de Lindblad. Eventualmente, la matriz de densidad evoluciona al estado incoherente $\frac{1}{2}(\left|\uparrow\right>\left<\uparrow\right|+\left|\downarrow\right>\left<\downarrow\right|)$ .

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Zhuoran él

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