Un problema sobre el movimiento de proyectiles

Question

Un problema sobre el movimiento de proyectiles

ambica govind

El enunciado del problema es el siguiente:

Dos bolas de masas $M$ y $2M$ son lanzados horizontalmente con la misma velocidad inicial $u$ desde lo alto de una torre alta y experimentar un arrastre viscoso de $-kv$ ( $k>0$ ) dónde $v$ es la velocidad instantánea. Compara los alcances de los dos proyectiles.

Ahora, consideré por separado el movimiento de una pelota horizontal y verticalmente. La única componente de aceleración a lo largo de la dirección horizontal fue proporcionada por la resistencia. Así que la ecuación sería, a = -kp/m (a es la aceleración horizontal y p es la velocidad horizontal instantánea). La aceleración es inversamente proporcional a la masa y, por lo tanto, la bola más pesada tendría una aceleración menor, y luego la bola más pesada la pelota golpearía el suelo más lejos. Mis instintos me dirigieron a integrar dos veces de la siguiente manera: p dp/dx = -kp/m (x es el desplazamiento horizontal) y luego integrando wrt time(t), esta es la ecuación que obtuve: ln(x) = -kt/ metro. Ahora estoy dudando de mí mismo porque tengo la sensación de que el tiempo de vuelo no sería igual para ambas masas. Traté de calcular el tiempo de vuelo analizando el movimiento vertical y obtuve una ecuación diferencial que encuentro difícil de resolver. (Solo soy un estudiante de secundaria que aún no ha terminado con la mitad de la parte de cálculo del curso: P) ¿Era mi primera solución correcta? ¿O la integración sucesiva me dará una respuesta completamente diferente?

petrus1904

Tenga en cuenta que

a_{x} (t) = - \frac{k}{m} v_{x} (t)

$a_x(t) = -\frac{k}{m}v_x(t)$ , y por lo tanto no es una constante que depende de la velocidad horizontal instantánea

p

$p$ . Para resolver esto, necesita resolver un DE, pero afortunadamente la forma más trivial:

\ddot{x} (t) = - \frac{k}{m} \dot{x} (t)

$\ddot{x}(t) = -\frac{k}{m}\dot{x}(t)$ , con

\dot{x} (0) = p

$\dot{x}(0) = p$ y

x (0) = 0

$x(0) = 0$ . La solución resultante es probablemente alguna función exponencial como

x (t) = - \frac{p m}{k} e^{- \frac{k}{m} t} + p

$x(t) = -\frac{pm}{k}e^{-\frac{k}{m}t}+p$ . Ahora depende de ti hacer lo mismo con la dirección vertical, que es importante para determinar cuándo la pelota ha tocado el suelo.

Chet Miller

¿No existe el arrastre en la dirección vertical también?

Chet Miller

Cuando integró, omitió el. constante de integración. La ecuación diferencial para x debe decir:

\frac{d X}{d t} = tu - \frac{k}{metro} X

$\frac{dx}{dt}=u-\frac{k}{m}x$

ambica govind

@ Petrus1904 Entonces, de hecho, no podré responder con precisión hasta que resuelva el DE obtenido en el caso de movimiento vertical también. Gracias:)

ambica govind

@Chet Miller Oh, sí, lo noté. ¿Pero eso cambiará algo?

Chet Miller

@ Petrus1904 Su solución para x(t) necesita corrección. Los dos términos no tienen las mismas unidades.

petrus1904

@ChetMiller Veo que dio la respuesta correcta en la respuesta a continuación. mi "solución" de hecho no se ajusta a la condición inicial de x. No estaba seguro de que mi respuesta fuera correcta, ya que la deduje rápidamente, de ahí la razón por la que puse "algo así" antes: P

Respuestas (2)

Un problema sobre el movimiento de proyectiles

Tenga en cuenta que $a_x(t) = -\frac{k}{m}v_x(t)$ , y por lo tanto no es una constante que depende de la velocidad horizontal instantánea $p$ . Para resolver esto, necesita resolver un DE, pero afortunadamente la forma más trivial: $\ddot{x}(t) = -\frac{k}{m}\dot{x}(t)$ , con $\dot{x}(0) = p$ y $x(0) = 0$ . La solución resultante es probablemente alguna función exponencial como $x(t) = -\frac{pm}{k}e^{-\frac{k}{m}t}+p$ . Ahora depende de ti hacer lo mismo con la dirección vertical, que es importante para determinar cuándo la pelota ha tocado el suelo.
Cuando integró, omitió el. constante de integración. La ecuación diferencial para x debe decir: $\frac{d X}{d t} = tu - \frac{k}{metro} X$ $\frac{dx}{dt}=u-\frac{k}{m}x$
@ Petrus1904 Entonces, de hecho, no podré responder con precisión hasta que resuelva el DE obtenido en el caso de movimiento vertical también. Gracias:)
@ Petrus1904 Su solución para x(t) necesita corrección. Los dos términos no tienen las mismas unidades.
@ChetMiller Veo que dio la respuesta correcta en la respuesta a continuación. mi "solución" de hecho no se ajusta a la condición inicial de x. No estaba seguro de que mi respuesta fuera correcta, ya que la deduje rápidamente, de ahí la razón por la que puse "algo así" antes: P

Chet Miller · Answer 1

No he visto su solución final para la dirección horizontal. yo obtengo

X = \frac{metro tu}{k} (1 - {mi}^{- \frac{k}{metro} t})

$x=\frac{mu}{k}\left(1-e^{-\frac{k}{m}t}\right)$ Habría comenzado a analizar la dirección horizontal de manera diferente, resolviendo primero la velocidad como función del tiempo:

\frac{d v_{X}}{d t} = - - \frac{k}{metro} v_{X}

$\frac{dv_x}{dt}=--\frac{k}{m}v_x$ Sujeto a la condición inicial

v_{x} = u

$v_x=u$ en t = 0, esto se integra a

v_{X} = tu {mi}^{- \frac{k}{metro} t}

$v_x=ue^{-\frac{k}{m}t}$ Entonces tiene

\frac{d X}{d t} = tu {mi}^{- \frac{k}{metro} t}

$\frac{dx}{dt}=ue^{-\frac{k}{m}t}$ Esto se integra al resultado (correcto) que di arriba para x.

Gracias por esa corrección, aunque sería de gran ayuda si también pudieras resolver la ecuación para el movimiento en la dirección vertical.
¿Cómo te ayudaría eso a resolver este problema? (Toda la información que necesita para resolver este problema está contenida en la solución para la dirección horizontal)
No estoy muy seguro de la hora de su vuelo. Puede que no sean iguales. Eso también debe calcularse (al menos, eso es lo que pienso)
Con arrastre presente, si la masa se lanza horizontalmente desde una altura muy alta, ¿hay un límite en cuanto a la distancia que la masa puede viajar horizontalmente? (Compruebe la solución para la distancia horizontal en función del tiempo)

jerbo sammy · Answer 2

Del comentario de Petrus:

a_{X} = \frac{d v_{X}}{d t} = \frac{d v_{X}}{d X} \frac{d X}{d t} = \frac{d v_{X}}{d X} v_{X} = - \frac{k}{metro} v_{X}

$a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{dv_x}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dv_x}{dx}v_x=-\frac{k}{m}v_x$ Integrar te da

x

$x$ como una función de

v_{x}

$v_x$ . Configuración

v_{x} \to 0

$v_x \to 0$ te da el rango.

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jerbo sammy

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