¿Transformación de Fourier en la naturaleza/física natural?

Tu oído es un eficaz transformador de Fourier.

Una oreja contiene muchas células ciliadas pequeñas. Las células ciliadas difieren en longitud, tensión y grosor y, por lo tanto, responden a diferentes frecuencias. Diferentes células ciliadas están mecánicamente vinculadas a canales iónicos en diferentes neuronas, por lo que se activan diferentes neuronas en el cerebro dependiendo de la transformada de Fourier del sonido que estás escuchando.

Un piano es un analizador de Fourier por una razón similar.

Un prisma o rejilla de difracción sería un analizador de Fourier para la luz. Esparce luz de diferentes frecuencias, lo que nos permite analizar qué cantidad de cada frecuencia está presente en una fuente determinada.

Veo que se han mencionado dos ejemplos en óptica, una rejilla de difracción de Mark Eichenlaub y una lente de sigoldberg1. Me gustaría elaborar un poco, porque hay una diferencia sutil entre los dos.

Por un lado, una rejilla de difracción separa la luz de diferentes frecuencias, es decir, los colores, transformándolos en diferentes posiciones. Esto es análogo a cómo funciona la transformada de Fourier 1-D en un sonido o una señal eléctrica.

Por otro lado, una lente toma la transformada de Fourier 2-D de un haz de luz monocromático . Monocromático significa que solo hay una frecuencia o color. Quizás se pregunte por qué la transformada de Fourier no es un pico único, si solo hay una frecuencia en la luz. Esto se debe a que una lente transforma las frecuencias espaciales (más o menos equivalentes a los ángulos, pero las explicaré a continuación) en posiciones. Matemáticamente, esta es la misma transformada de Fourier, pero transforma una propiedad completamente diferente de la luz.

Me tomó mucho tiempo entender exactamente qué eran las frecuencias espaciales. Finalmente lo conseguí un día, leyendo el capítulo 4, "Óptica de Fourier", de los Fundamentos de la fotónica de Saleh y Teich , que recomiendo de todo corazón si no entiendes mi explicación aquí.

Probablemente aprendiste en tu clase que puedes escribir cualquier señal como una serie de Fourier, que es la suma de los componentes de frecuencia, cada uno con su propia amplitud y fase. La transformada de Fourier es una especie de versión continua de eso. Bueno, puedes expresar cualquier haz de luz monocromático como la suma de muchas ondas planas que viajan en diferentes ángulos, todas con la misma frecuencia, pero cada una con su propia amplitud y fase. ¿Esto empieza a sonar familiar? Cada una de estas ondas planas es una frecuencia espacial . Al igual que con el paso de la serie de Fourier a la transformada de Fourier, puede realizar el paso de frecuencias espaciales discretas a la transformada de Fourier 2-D.

Una lente positiva enfoca cada una de estas frecuencias espaciales en un punto separado. Por ejemplo, aquí hay ilustraciones de dos ondas planas diferentes enfocadas por una lente.

Cuando una onda plana golpea una lente de frente, la lente la enfoca en un punto en el eje óptico, a la distancia focal de la lente.

Sin embargo, cuando la onda plana incide en un ángulo, el foco todavía está en la distancia focal, pero desplazado del eje óptico. Así es como una lente transforma el "ángulo" en posición.

Entonces, si tiene un haz más complicado compuesto por muchas frecuencias espaciales (que, como dije, son solo ondas planas), todas están enfocadas para separar puntos en el mismo plano en el otro lado de la lente, una distancia focal de distancia . Por eso decimos que calcula la transformada de Fourier 2-D de un haz de luz monocromático. De hecho, en la década de 1970, cuando las computadoras no eran tan rápidas, ¡la gente realmente experimentó usando lentes para calcular las transformadas de Fourier instantáneamente!

¿Recuerdas el experimento de la doble rendija ? El patrón de interferencia es la transformada de Fourier de los agujeros . Esto aturdió mi mente cuando lo aprendí por primera vez. En el límite donde la pantalla está lejos de la máscara, los rayos de luz calculan físicamente la transformada de Fourier (ver difracción de Fraunhofer ).

Esto se relaciona con uno de los mejores ejemplos de la historia: los lentes y cómo ves.

Muy, muy, aproximadamente, cuando la luz interactúa con un objeto macroscópico, el resultado es la transformada de Fourier de la forma del objeto, contenida en la luz dispersa. Una lente básicamente calcula la transformada de Fourier de parte de la luz dispersada. La transformada de Fourier es su propia inversa, es decir aplicada dos veces obtenemos la identidad. Entonces, usando la lente en tu ojo, ¡tu retina ve la forma del objeto! Lo mismo para las cámaras, obviamente. Intentaré encontrar algunas referencias y editaré más tarde para incluirlas.

En microscopía de imágenes, la Transformada de Fourier 2D es una herramienta útil para analizar las imágenes y mejorar la relación S/R.

Tuve tu misma opinión al principio, pero luego mi jefe, que en realidad es un entusiasta de FTT, ¡fue capaz de convencerme de la utilidad real (cómica) de la técnica!

Exponiendo la primera parte de la respuesta de @Einchenlaub (y describiendo mi ejemplo favorito),

La cóclea en el oído (en la que están presentes los folículos pilosos/sensores de vibración) es un hermoso ejemplo de cómo se lleva a cabo físicamente la transformada de Fourier.
El diámetro cambiante del tubo de la cóclea hace que diferentes frecuencias resuenen en diferentes partes de la cóclea, por lo que los folículos pilosos en esas regiones son más sensibles a una frecuencia particular. Las señales que salen de todas las células ciliadas son la transformada de Fourier del sonido entrante (si organiza las señales por posición en la cóclea).

Creo que hay investigaciones de ~ 2000 que sugieren que las habilidades humanas para captar voces en una multitud utilizan esta discriminación de frecuencia; aplicar filtrado de frecuencias activando/desactivando células amplificadoras en diferentes ubicaciones de la cóclea, amplificando efectivamente las frecuencias de audio seleccionadas. (Lo siento, no tengo a mano los nombres de los autores, etc.)

Quiero agregar algo al problema del hablante y mostrar que la transformación de Fourier no es suficiente para explicarlo (como tal vez lo indiquen implícitamente las respuestas proporcionadas hasta ahora).

En una primera aproximación, puede describir las funciones propias de una placa sujeta a alguna excitación mecánica (por ejemplo, acústica) mediante la ecuación de Helmholtz

$\Delta\psi(x,y) + \mathbf{k}^2\psi(x,y) = 0$por${x,y}\in \Omega = {(x,y)\in(-L_x...L_x,-L_y...L_y)}$

Las soluciones a esta ecuación son ondas planas si, y ahora viene el punto que no se discutió hasta ahora, tienes un límite rectangular con condiciones de Dirichlet, digamos

$\psi \equiv 0$por$(x,y) \in \partial\Omega$

Entonces, realmente tienes (la m'ésima) resonancias/frecuencias propias en algunos$k_x*L_x = m$y análogamente para$y$.

Pero si los límites son de alguna manera diferentes, obtienes otras funciones propias como las funciones de Bessel para un sistema esférico. La situación se vuelve totalmente desordenada si tienes una forma que no es integrable como para los billares dinámicos . Entonces puedes observar funciones propias caóticas .

Entonces, en resumen, no basta con conocer la transformada de Fourier para explicar tales fenómenos ondulatorios.

Sinceramente

Roberto

Un ejemplo perfecto es el prisma. Si pasa la luz blanca al prisma, se rompe la luz blanca en señales de luz rojas, naranjas, amarillas, etc. Es como encontrar los componentes de frecuencia individuales en la luz blanca.