Transferencia de potencia máxima en un circuito de CA

Question

Transferencia de potencia máxima en un circuito de CA

C.A
Física
impedancia

jonagik

Considere que una fuente de voltaje de CA se coloca en serie con una impedancia compleja (z) y una impedancia de carga. La máxima transferencia de potencia a la impedancia de carga ocurre cuando la impedancia de carga es igual al conjugado complejo de la impedancia en serie (z).

Lo que quiero saber es cuál es la derivación (matemáticamente rigurosa) de esto.

Revisé mis libros de texto de ingeniería eléctrica y no puedo encontrar una buena derivación. Si pudiera proporcionar uno, estaría muy agradecido.

Gracias de antemano por tu ayuda.

Kaz

En realidad, para transferir la potencia máxima a una impedancia de carga fija, hace que la impedancia de la fuente sea lo más pequeña posible (para no desperdiciar energía en la fuente). Las impedancias iguales/conjugadas entran en juego cuando tiene una impedancia de fuente fija y solo puede variar la impedancia de carga de modo que absorba la mayor cantidad de energía de la fuente.

Kaz

Es decir, este problema supone que no se puede reducir la impedancia total. Existe una restricción implícita de que la carga total + la impedancia de la fuente deben permanecer fijas y, dentro de esta restricción, se resuelve para la transferencia de potencia máxima. Similar a cualquier otro problema de maximización, como: dada una cadena de tantos pies, ¿cuál es el área más grande que puede encerrar que parece un rectángulo con una tapa semicircular? Esta es la clave; Creo que puedes resolverlo ahora.

jonagik

@Kaz, por supuesto, si podemos hacer que la suma de la carga y las impedancias equivalentes en serie sean más bajas, la transferencia de energía será mayor. Pero la pregunta es sobre la derivación de una resistencia en serie constante, z .

Respuestas (1)

Transferencia de potencia máxima en un circuito de CA

En realidad, para transferir la potencia máxima a una impedancia de carga fija, hace que la impedancia de la fuente sea lo más pequeña posible (para no desperdiciar energía en la fuente). Las impedancias iguales/conjugadas entran en juego cuando tiene una impedancia de fuente fija y solo puede variar la impedancia de carga de modo que absorba la mayor cantidad de energía de la fuente.
Es decir, este problema supone que no se puede reducir la impedancia total. Existe una restricción implícita de que la carga total + la impedancia de la fuente deben permanecer fijas y, dentro de esta restricción, se resuelve para la transferencia de potencia máxima. Similar a cualquier otro problema de maximización, como: dada una cadena de tantos pies, ¿cuál es el área más grande que puede encerrar que parece un rectángulo con una tapa semicircular? Esta es la clave; Creo que puedes resolverlo ahora.
@Kaz, por supuesto, si podemos hacer que la suma de la carga y las impedancias equivalentes en serie sean más bajas, la transferencia de energía será mayor. Pero la pregunta es sobre la derivación de una resistencia en serie constante, z .

Arte Marrón · Answer 1

La referencia es Desoer & Kuh, Basic Circuit Theory .

Primero, la notación y una expresión para la potencia promedio Pav. Para una tensión sinusoidal v y una corriente i a la misma frecuencia:

v (t) = V_{metro} C o s (ω t + ∡ V) = R mi (V {mi}^{j ω t}) dónde V ≜ V_{metro} {mi}^{j ∡ V}

$v(t)=V_m cos(\omega t + \measuredangle{V})= Re(Ve^{j \omega t}) \text{ where } V \triangleq V_m e^{j \measuredangle{V}}$

i (t) = I_{metro} C o s (ω t + ∡ I) = R mi (I {mi}^{j ω t}) dónde I ≜ I_{metro} {mi}^{j ∡ I}

$i(t)=I_m cos(\omega t + \measuredangle{I})= Re(Ie^{j \omega t}) \text{ where } I \triangleq I_m e^{j \measuredangle{I}}$

pag (t) = v (t) i (t) = \frac{1}{2} V_{metro} I_{metro} C o s (∡ V - ∡ I) + \frac{1}{2} V_{metro} I_{metro} C o s (2 ω t + ∡ V + ∡ I)

$p(t)=v(t)i(t)=\frac{1}{2}V_mI_m cos(\measuredangle{V}-\measuredangle{I})+\frac{1}{2}V_mI_m cos(2\omega t +\measuredangle{V}+\measuredangle{I})$

Promediando durante un período, la potencia promedio Pav es:

{PAG}_{a v} = \frac{1}{2} V_{metro} I_{metro} C o s (∡ V - ∡ I) = Re (\frac{1}{2} V \bar{I})

$P_{av}=\frac{1}{2}V_mI_m cos(\measuredangle{V}-\measuredangle{I})=\text{Re}(\frac{1}{2}V \overline{I})$

Si V está relacionado con I por una impedancia compleja Z, V=IZ, entonces:

{PAG}_{a v} = \frac{1}{2} Re (I \bar{I} Z) = \frac{1}{2} | I |^{2} Re (Z)

$P_{av}=\frac{1}{2}\text{Re}(I \overline{I} Z) = \frac{1}{2}|I|^2 \text{Re}(Z)$

Con eso fuera del camino, vamos a la maximización. Con el voltaje de fuente vs , el voltaje de carga vl y la corriente i como arriba, la impedancia de fuente fija Zs=Rs+jXs y la impedancia de carga por determinar Zl=Rl+jXl , la potencia promedio entregada a la carga Pav es:

{PAG}_{a v} = \frac{1}{2} | I |^{2} R_{yo}

$P_{av}=\frac{1}{2} |I|^2 R_l$

Desde

I = \frac{V_{s}}{Z_{s} + Z_{yo}}

$I=\frac{V_s}{Z_s+Z_l}$

resulta que

{PAG}_{a v} = \frac{1}{2} | V_{s} |^{2} \frac{R_{yo}}{| Z_{s} + Z_{yo} |^{2}} = \frac{1}{2} | V_{s} |^{2} \frac{R_{yo}}{(R_{s} + R_{yo})^{2} + (X_{s} + X_{yo})^{2}}

$P_{av}=\frac{1}{2} |V_s|^2 \frac{R_l}{|Z_s+Z_l|^2}=\frac{1}{2} |V_s|^2 \frac{R_l}{(R_s+R_l)^2+(X_s+X_l)^2}$

Ahora puede maximizar esta expresión diferenciando por separado con respecto a las partes real e imaginaria de Zl:

Con respecto a Xl, que solo aparece en una ubicación, el máximo se alcanza en Xl=-Xs.
Con respecto a Rl, que aparece en dos lugares, el máximo se alcanza en Rl=Rs.

Por lo tanto, para obtener la máxima entrega de potencia, establezca Zl en:

Z_{yo, o pag t} = R_{s} - j X_{s} = \bar{Z_{s}}

$Z_{l,opt}= R_s-jX_s = \overline{Z_s}$ La potencia promedio máxima entregada a esa carga es:

{PAG}_{a v, metro a X} = \frac{| V_{s} |^{2}}{8 R_{s}}

$P_{av,max}=\frac{|V_s|^2}{8R_s}$

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jonagik

Kaz

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