Relación del circuito de CA entre la impedancia, la corriente y el voltaje suministrado

Editar: Hiciste esta declaración en tu edición:

Debería pensar Z como una constante, independientemente de la fase

Esto no es cierto, la impedancia Z es una función de la frecuencia.$\omega$:

$$Z = j\omega+r$$

Quizás esto ilustraría mejor mi punto:

$$Z(\omega) = j\omega+r$$

Z es un valor complejo, con parte real$r$y parte imaginaria$\omega$. A partir de esto, puede ver que tanto el argumento como la magnitud de esta función dependen de la frecuencia.

Para cualquier valor particular de$\omega$y$r$, sí, Z se evalúa como un número complejo particular, con un argumento particular y una magnitud particular, pero la función de impedancia Z en sí misma no es una constante.

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Como señaló correctamente, la relación entre la corriente y el voltaje a través de una resistencia es completamente proporcional, y si un circuito contiene solo elementos resistivos, esta relación sería suficiente para describir completamente el comportamiento del circuito. El tiempo y la frecuencia no influirán en ese comportamiento.

Sin embargo, este no es el caso de los capacitores y los inductores porque (también como notó) la relación no es proporcional y el tiempo se convierte en un factor en las ecuaciones.

Puede parecer abrumador al principio, cuando alguien le dice la relación entre la corriente y el voltaje a través de un capacitor, porque es una ecuación diferencial:

$$I = C\frac{dV}{dt}$$

No sé cuánto sabes, y tal vez ya sabías y entendiste esto, pero describiré su significado de todos modos. Esto se traduce en: la tasa de cambio de voltaje en el tiempo a través de un capacitor es directamente proporcional a la corriente a través de él, y la constante de proporcionalidad es la capacitancia C.

Una solución a esta ecuación es cuando I es constante, y esa solución equivale a esta observación: el voltaje a través de un capacitor aumentará (o disminuirá) a un ritmo constante si hay una corriente constante a través de él.

Otra solución, cuando la corriente I es una sinusoide, como I=sin(t), es que V también sea una sinusoide, pero desfasada 90° con la corriente. Un coseno invertido, de hecho.

En el caso de un solo condensador y alguna fuente de corriente constante o sinusoidal simple, esta ecuación es fácil de resolver, pero rara vez es tan simple. En realidad, hay muchas resistencias, muchas capacitancias y muchas inductancias presentes en un circuito, y todas las ecuaciones diferenciales simultáneas combinadas que describen el comportamiento de ese circuito son siempre difíciles de manejar.

Así que recurrimos a las transformadas de Laplace, que simplifican enormemente la resolución de las ecuaciones. Las transformadas de Laplace son formas de representar ecuaciones diferenciales en una forma que no representa la evolución de voltajes y corrientes en el tiempo, sino la relación entre la frecuencia y la diferencia de fase de algún voltaje o corriente. Las matemáticas detrás de esto son exquisitas, y le recomiendo que vea los videos de Khan Academy y 3Blue1Brown sobre este y otros temas relacionados.

Por ahora, sin embargo, probablemente sea suficiente afirmar que en las transformadas de Laplace, en lugar de la variable$t$(tiempo) la variable es$s$que puede considerarse como el equivalente en el dominio de la frecuencia de$t$en las ecuaciones diferenciales regulares en el dominio del tiempo. Este valor no es un simple número real; es complejo

En una generalización,$s$Se puede escribir como$j\omega$.$j$es la constante$\sqrt{-1}$(generalmente escrito$i$, pero los ingenieros usan$j$para evitar ambigüedades cuando$i$se utiliza para representar la corriente).$\omega$es la frecuencia angular, en radianes por segundo. Tal vez esté familiarizado con la relación entre la frecuencia$f$(en ciclos por segundo, o$Hz$), y frecuencia angular$\omega$:

$$\omega = 2\pi f$$

Esto nos lleva al término "impedancia", que, como la resistencia, es una representación de la relación entre la corriente y el voltaje a través de algo, pero ese algo es capacitivo o inductivo, o tiene algún grado de comportamiento capacitivo o inductivo. En otras palabras, elementos de un circuito que exhiben un comportamiento dependiente del tiempo, lo que resulta en una diferencia de fase entre la corriente y el voltaje.

Donde llamamos "resistencia" a la relación entre la corriente y el voltaje en una resistencia (donde no hay un aspecto dependiente del tiempo ni un cambio de fase), el nombre que se le da a esa relación en un capacitor o inductor se llama "reactancia". Todos los elementos de un circuito tendrán alguna combinación de resistencia y reactancia, y esa combinación se llama "impedancia".

La impedancia es un valor complejo, con partes reales e imaginarias. La parte real de la impedancia representa el comportamiento resistivo de algún elemento, y la parte imaginaria corresponde a la reactancia del elemento.

La impedancia, al ser compleja, "codifica" dos piezas de información. Cuando traza números complejos en un gráfico del plano complejo, se convierte en una especie de vector, con una longitud (magnitud) y una dirección (ángulo o "argumento"). El ángulo representa la diferencia de fase entre la corriente y el voltaje a alguna frecuencia, y la magnitud es la relación entre las amplitudes de la corriente y el voltaje.

Por lo general, la resistencia pura se cita solo como un número real, una sola cantidad escalar de "ohmios", pero también puede considerar que es complejo, solo con una parte imaginaria cero, sin un comportamiento reactivo dependiente del tiempo. La reactancia, por otro lado, se define en términos de$j\omega$, que es la parte imaginaria de la impedancia.

En resumen, entonces, la impedancia de un elemento es un valor complejo que consta de una parte real que representa el aspecto resistivo del elemento y una parte imaginaria que representa el aspecto reactivo. Debido a que este valor es complejo, tiene una magnitud que indica la relación entre las amplitudes de la corriente y el voltaje a una frecuencia dada, y un ángulo que indica la relación de fase entre la corriente y el voltaje.

Como mencioné, una resistencia ideal R es puramente real, sin parte imaginaria, por lo que la impedancia$Z_R$de una resistencia de valor R es:

$$\begin{aligned} Z_R &= 0j + R \\ \\ &= R \\ \\ \end{aligned}$$

las impedancias$Z_C$de un condensador ideal C, y$Z_L$de un inductor ideal L, son puramente imaginarios:

$$\begin{aligned} Z_C &= \frac{1}{j\omega C} \\ \\ Z_L &= j\omega L \\ \\ \end{aligned}$$

Aquí es donde su pregunta realmente se responde. Dado que estos valores son todos complejos (aunque con cero partes imaginarias o reales), tienen magnitud y dirección y, por lo tanto, contienen más información que solo una "resistencia" escalar.

Entonces, existe una distinción sutil pero crucial entre estas dos versiones de la ley de Ohm:

$$\begin{aligned} R &= \frac{V}{I} \\ \\ Z &= \frac{v}{i} \\ \\ \end{aligned}$$

R representa un elemento puramente resistivo y es un valor real escalar, pero Z significa impedancia, que es compleja y contiene más información que solo magnitud. La impedancia Z contiene suficiente información para que pueda extraer no solo cómo se comparan las amplitudes de la corriente y el voltaje, sino también la relación de fase entre la corriente y el voltaje.

Además, dado que la impedancia Z está en términos de frecuencia$\omega$, es fundamental entender que$i$y$v$se refieren a amplitudes de componentes sinusoidales de corriente y voltaje a esa frecuencia particular. La famosa ley de Ohm original en términos de resistencia R también se puede usar para describir voltajes y corrientes de CC estáticos, pero la impedancia no. La impedancia está hablando de CA, y en particular solo de amplitudes, ignorando las compensaciones de CC.

La naturaleza de la transformada de Laplace es tal que puede combinar impedancias exactamente como combinaría resistencias simples, en un circuito, utilizando las mismas fórmulas. Puede sumar impedancias en serie para encontrar su impedancia combinada. Puede combinar impedancias conectadas en paralelo como combinaría resistencias en paralelo. El resultado siempre será una expresión compleja que describirá correctamente las relaciones de fase y magnitud entre la corriente y el voltaje en el elemento compuesto:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

En el circuito P tenemos una reactancia en serie con una resistencia. La impedancia total entre A y B es simplemente la suma de las impedancias individuales:

$$\begin{aligned} Z_{AB} &= Z_L + Z_R \\ \\ &= j\omega L + R \\ \\ &= 100 + j(\omega \cdot 10^{-6}) \\ \\ \end{aligned}$$

Para la combinación en paralelo en el circuito Q, simplemente encontramos el recíproco de la suma de los recíprocos, como lo harías con un par de resistencias. Tendrá que haber alguna manipulación (usando un conjugado complejo) para revelar un resultado complejo regular:

$$\begin{aligned} Z_{CD} &= \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{j\omega C}}+\frac{1}{R}} \\ \\ &= \frac{1}{j\omega C+\frac{1}{R}} \\ \\ &= \frac{R}{j\omega CR+1} \cdot \frac{j\omega CR-1}{j\omega CR-1} \\ \\ &= \frac{j\omega CR^2 - R}{-\omega ^2C^2R^2 - 1} \\ \\ &= \frac{R}{\omega ^2C^2R^2+1} + j(\frac{-\omega CR^2}{\omega ^2C^2R^2+1}) \end{aligned}$$

El aspecto es horrendo, y lo es.

El circuito R es el mismo que Q, excepto por un inductor en serie. Podemos sumar la impedancia de ese inductor a la impedancia total del circuito Q:

$$\begin{aligned} Z_{EF} &= Z_{CD} + Z_L \\ \\ &= \frac{R}{\omega ^2C^2R^2+1} + j(\frac{-\omega CR^2}{\omega ^2C^2R^2+1}) + j\omega L \\ \\ &= \frac{R}{\omega ^2C^2R^2+1} + j(\omega L - \frac{\omega CR^2}{\omega ^2C^2R^2+1}) \end{aligned}$$

El punto que estoy tratando de hacer con todo esto es que cada uno de los cálculos anteriores produce un número complejo, y el argumento (ángulo) de ese número le brinda información de fase, y la magnitud de ese número le informa sobre amplitudes relativas.

Por último, para ilustrar esto, tomemos el circuito P y simulémoslo. Conectaré una fuente de voltaje sinusoidal de 10 V de amplitud y 16 Mhz de frecuencia, y compararé las formas de onda de voltaje y corriente resultantes.

La frecuencia angular correspondiente a 16Mhz es:

$$\begin{aligned} \omega &= 2\pi f \\ \\ &= 2\pi \times 16MHz \\ \\ &= 100\times10^6 rad/s \\ \\ \end{aligned}$$

La impedancia del circuito P, entre A y B, es:

$$Z_{AB} = R + j(\omega L)$$

Las partes real e imaginaria de esta impedancia son:

$$\begin{aligned} Re(Z_{AB}) &= R \\ \\ &= 100 \\ \\ Im(Z_{AB}) &= \omega L \\ \\ &= 100\times10^6 \cdot 1\times 10^{-6} \\ \\ &= 100 \\ \\ \end{aligned}$$

el argumento de$Z_{AB}$es:

$$\begin{aligned} \phi &= \angle Z_{AB} \\ \\ &= tan^{-1}(\frac{Im(Z_{AB})}{Re(Z_{AB})}) \\ \\ &= tan^{-1}(\frac{100}{100}) \\ \\ &= 45° \end{aligned}$$

La magnitud de$Z_{AB}$es:

$$\begin{aligned} F &= \lvert Z_{AB} \rvert \\ \\ &= \sqrt{Im(Z_{AB})^2 + Re(Z_{AB})^2} \\ \\ &= \sqrt{100^2 + 100^2} \\ \\ &= 100\sqrt{2} \\ \\ &= 141 \\ \\ \end{aligned}$$

Dado que la definición de impedancia es la relación de amplitudes de voltaje y corriente

$$\frac{v}{i} = Z_{AB}$$

Podemos esperar que la amplitud de la corriente a través de R y L sea un factor de 141 menor que el voltaje a través de ellos, con una diferencia de fase de 45°:

Aquí está la simulación de CircuitLab que utilicé:

^{simular este circuito}

Mientras intenta asimilar esto, es posible que deba adoptar varios enfoques diferentes y ver qué funciona para usted. Prueba este.

En un circuito resistivo, V siempre es proporcional a I, siendo la relación la resistencia, V=IR, con señales arbitrarias. R es un número puro, aunque en este punto probablemente ni siquiera pensemos en hacer esa observación. R es una razón, es la razón de V a I, V/I.

En el caso particular de una señal sinusoidal, Vt = Acos(2pift+fase), podemos hablar de su fase, al menos con respecto a otra forma de onda de la misma frecuencia. Por supuesto, no hay necesidad de hacer esto en el caso resistivo porque V=IR siempre es cierto.

Cuando el circuito tiene un inductor o un capacitor, notamos que la corriente a través de ese componente tiene una fase diferente al voltaje que lo atraviesa. Es una diferencia de fase constante, en cualquier frecuencia dada de todos modos.

Si es consistente, ¿podemos decir algo al respecto matemáticamente? Bien, inventemos un número con fase y veamos adónde nos lleva, entonces escribimos V=IZ, donde Z es nuestro número con fase, y hemos extendido el concepto de resistencia para que tenga una fase.

Cuando se inventaron los números complejos por primera vez, hubo aullidos de angustia y burla por parte de los matemáticos. Esa es una de las razones por las que las partes de un número complejo se llaman reales e imaginarias. Estaban señalando que estos no eran números 'reales' y que solo habían sido imaginados. Así que de ninguna manera eres la primera persona en encontrar estas construcciones inquietantes.

Pero si simplemente se abrocha el cinturón y los usa tal como están definidos, simplifican áreas completas de las matemáticas y, en particular, la teoría eléctrica, con sus inductores y capacitores.

No estoy seguro de entender por qué la teoría eléctrica se mapea tan bien en un plano 2D, pero lo hace. Tal vez sea cuando acoplas un inductor y un capacitor y los dejas resonar, entonces si el voltaje es seno, la corriente es coseno, y trazar uno contra el otro requiere 2 dimensiones, y obtienes un círculo cuando lo haces.

Es muy fácil e intuitivamente informativo poder sumar impedancias en serie gráficamente colocando vectores de impedancia de punta a punta en un diagrama de Argand.

Es posible que hagan clic mientras procesas las ecuaciones y te das cuenta de que siempre funcionan. Pueden hacer clic cuando observe que el seno y el coseno lo llevan alrededor de un círculo en el plano complejo, en un diagrama de Argand. Pero con suerte, eventualmente harán clic, porque le ahorrará complejidad cuando pueda escribir las relaciones entre el voltaje y la corriente como un solo número complejo, en lugar de tener que resolverlo en ejes ortogonales y usar el seno y el coseno por separado, o lidiar con la suma Representaciones vectoriales R-theta juntas.

Z como impedancia compleja contiene un componente "real" y otro "imaginario". Los apodos "real" e "imaginario" (después de todo, los números son conceptos y, por lo tanto, un producto de la imaginación de todos modos) ya indican que la parte imaginaria cumple un papel específicamente inventado diferente del papel estándar.

Cuando se usan números complejos en física, la mayoría de las veces el componente imaginario no corresponde a una cantidad realmente medida, sino que se agrega al seguimiento de algo diferente porque las manipulaciones algebraicas habituales hacen lo correcto cuando se usan reglas de manipulación de números complejos en las partes reales e imaginarias combinadas en lugar de solo la parte real.

Asumiendo 50 Hz CA, resulta que si cambiamos la ley de Ohm$U = IR$en$U = IZ$, entonces podemos convertir un condensador

$$U = \int I \times C\ \mathrm{dt}$$ en$U = IZ_c$con $$Z_c=\frac{1}{2\pi \times j \times 50\text{ Hz} \times C}$$ (Estoy usando$j = \sqrt{-1}$aquí, la convención EE) y convertir un inductor $$U = \mathrm{\frac{d}{dt}} I \times L$$ en$U = I Z_l$con$Z_l=2 \pi \times j \times 50\text{ Hz} \times L$. Y mágicamente, nuestras ecuaciones algebraicas que cubren las redes de resistencias en realidad predicen perfectamente el comportamiento de una red que también contiene inductores y capacitores cuando se alimenta con voltajes/corrientes de 50 Hz (no para ninguna otra frecuencia, pero puede reemplazar 50 Hz con un genérico$f$y al menos obtener una respuesta en términos de$f$).

Es importante darse cuenta de que esto no es más que un juego de manos: cualquier oscilación armónica contiene dos formas de energía que periódicamente se convierten una en otra y al hacer un seguimiento de esos dos componentes poniéndolos en un número complejo, podemos pretender simplemente Rastree un componente y almacene lo que falta en la imagen (pero regresará periódicamente) en el componente imaginario.

Si bien este truco solo funciona en una frecuencia a la vez, funciona de manera suficientemente confiable como para que la gente confíe en él.

Aunque se rompa.

Aquí hay un ejemplo: los amplificadores se clasificarán con la impedancia de salida para la que están diseñados. Suponiendo que la tecnología analógica, puede usar eso para calcular la cantidad máxima de corriente que los transistores de potencia tendrán que proporcionar. El problema es que los transistores de potencia entregan esta corriente desde los rieles de potencia y el voltaje a través de ellos es de signo opuesto al voltaje en el altavoz. Entonces, con una carga resistiva, tienen las corrientes más grandes y el voltaje más bajo a través de ellos, y se apagan (en lugar de que su contraparte en el otro riel de alimentación haga el trabajo) cuando el voltaje en la salida es de polaridad opuesta .

Si bien la impedancia de salida a una frecuencia determinada predice correctamente las corrientes máximas que ingresan al altavoz, la potencia máxima extraída de los transistores de potencia solo se puede determinar suponiendo que la carga es principalmente resistiva.

Esta suposición se derrumba con cargas significativamente inductivas o capacitivas, como un cruce de parlantes de bajos sin el parlante real, dejando solo una carga reactiva. Cerca de la frecuencia de cruce, la impedancia será cercana a cero, mientras que los voltajes y las corrientes estarán desfasados: esto puede hacer estallar un amplificador que está diseñado para soportar una salida en cortocircuito.

En los circuitos de CA con frecuencia constante y sin un voltaje de CC diferente de 0 V, las impedancias complejas cuentan la historia tan bien que la gente deposita en ellas una confianza similar a la que depositan en las resistencias reales.

La impedancia es la generalización de la resistencia, con elementos reactivos : inductancia y capacitancia.

¿Cómo estos elementos reactivos... 'reaccionan'?

• Los capacitores reaccionan a los cambios de voltaje con una corriente opuesta :
  • cambios de voltaje más rápidos => corriente más alta ($I = C {dV \over dt}$)
  • mayor frecuencia => menor impedancia ($X_C = {1\over 2 \pi fC})$
• Los inductores reaccionan a los cambios en la corriente con un voltaje opuesto :
  • cambios de corriente más rápidos => mayor voltaje ($V = L{dI \over dt}$;$I = {1 \over L} \int_0^T Vdt + I_0$)
  • mayor frecuencia => mayor impedancia ($X_L = 2\pi fL)$

(Un poquito de conocimientos matemáticos... aquí .)

De hecho, los efectos de estos elementos cambiarán la relación entre el voltaje de CA y la corriente. Entonces, con cada uno, responden a un seno AC simple de la siguiente manera:

• Condensador: la corriente alterna llevará voltaje
• Inductor: la corriente alterna retrasará el voltaje
• y... Resistencia: la corriente CA estará en fase con el voltaje

Puede encontrar las ecuaciones detalladas para estos usando matemáticas complejas ( complejas en el sentido real + imaginario ) que son sorprendentes al principio si no está familiarizado con ellas. Estos tutoriales centrados en las matemáticas tienen su lugar y, a medida que crezcan sus conocimientos y habilidades matemáticas, tendrán más sentido.

Pero en lugar de ahogarse en esas matemáticas, aquí hay un simulador en línea que le permitirá ver cómo funcionan los circuitos reactivos.

Simulación Falstad RLC: http://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html

La primera simulación muestra cómo se comporta cada tipo de impedancia. Siéntase libre de editar el sim al contenido de su corazón y ver los otros ejemplos.

Pero la corriente todavía se puede calcular usando I = V/Z, donde Z es la impedancia del circuito. no entiendo esto ¿Cómo podría calcularse la corriente usando I = V/Z, aunque I y la fuente V no estén en fase?

Piense en una analogía mecánica de una resistencia y un condensador en serie. Para esta analogía voy a usar fluidos y, en particular, les pido que consideren un río o canal con una compuerta con fugas (muchos, muchos agujeros pequeños). Si los niveles de agua en ambos lados son iguales, entonces no hay flujo de agua a través de la compuerta de esclusa y esto es equivalente a una fuente de voltaje que alimenta un capacitor a través de una resistencia. El voltaje del condensador es el nivel de líquido en el otro lado de la compuerta de la esclusa con fugas y el flujo de agua es básicamente corriente.

Si de repente se vaciara una carga completa de agua en el lado de alimentación de la compuerta de la esclusa, el nivel de entrada aumentaría instantáneamente, pero el nivel en el lado del "condensador" aumentaría lentamente y, después de algún tiempo, alcanzaría el mismo nivel que el lado de alimentación. Esto es lo mismo que cargar un capacitor a través de una resistencia. Creo que ya puedes entender esta analogía matemática exponencial.

Pero ahora, considere que el nivel de fluido en el lado de alimentación está variando en nivel sinusoidalmente. No tiene que averiguar cómo se puede lograr eso, así que suponga que se hace mediante bombas especiales que avanzan y retroceden.

Si la frecuencia de ese cambio de nivel de fluido es alta, los cambios de nivel de fluido en el lado del capacitor serán sinusoidales, pero esos cambios serán claramente de menor amplitud en comparación con el lado de alimentación y habrá un claro lapso de tiempo entre el el lado de alimentación alcanza el máximo y el lado del capacitor alcanza el máximo. Esto es cierto para el circuito de condensador de resistencia mencionado anteriormente.

Pero eso no significa que no podamos atribuir un valor de impedancia al flujo a través de la compuerta con fugas causada por los cambios en el nivel de alimentación. Claramente, el flujo a través de la compuerta de esclusa no está "en fase" con el nivel de agua de entrada y esto se debe a que el flujo también se rige por el nivel de salida. Esto también es cierto para la resistencia y el condensador.

Podemos definir la impedancia del sistema de fluidos descrito anteriormente como el cambio de nivel de fluido de pico a pico en la alimentación de entrada dividido por el flujo de agua de pico a pico en la alimentación de salida y, no tenemos que preocuparnos sobre la relación de fase entre los dos.

Para esta respuesta, cada vez que digo corriente , me refiero específicamente a corriente convencional ; y cada vez que digo resistencia , capacitor o inductor , me refiero específicamente a resistencia de resistencia constante , capacitor de capacitancia constante e inductor de inductancia constante , respectivamente. Dado que está estudiando circuitos de CA, supondré que ya ha estudiado individualmente resistencias, condensadores e inductores. También supondré que estás familiarizado con las derivadas y con ciertas identidades trigonométricas.

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Primero, recordemos algunas ecuaciones.

En una resistencia, la corriente instantánea a través de la resistencia es directamente proporcional al voltaje instantáneo a través de la resistencia:

$v(t) = R \, i(t) \tag 1$

En un capacitor, la corriente instantánea a través del capacitor es directamente proporcional a la tasa de cambio en el tiempo del voltaje instantáneo a través del capacitor:

$i(t) = C \, \dfrac{\mathrm dv(t)}{\mathrm dt} \tag 2$

En un inductor, el voltaje instantáneo a través del inductor es directamente proporcional a la tasa de cambio en el tiempo de la corriente instantánea a través del inductor:

$v(t) = L \, \dfrac{\mathrm di(t)}{\mathrm dt} \tag 3$

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Consideremos una resistencia. Supongamos que la corriente instantánea a través de él es una sinusoide de la forma$i(t) = I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}$. Entonces, de la ecuación (1), el voltaje instantáneo a través de ella es:

$\begin{align} v(t) &= R \, [I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}] \\ &= R \, I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)} \tag 4 \end{align}$

es decir, también es una sinusoide de la misma frecuencia que la corriente instantánea. La corriente está en fase en el tiempo con el voltaje.

Luego, en un capacitor, supongamos que el voltaje instantáneo a través de él es una sinusoide de la forma$v(t) = V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v)}$. Entonces, de la ecuación (2), la corriente instantánea a través de él es:

$\begin{align} i(t) &= C \, \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} [V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v)}] \\ &= C \, [- \omega \, V_\text{m} \sin{(\omega t + \phi_v)}] \\ &= - C \, \omega \, V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v - 90^\circ)} \\ &= C \, \omega \, V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v - 90^\circ + 180^\circ)} \\ &= C \, \omega \, V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v + 90^\circ)} \tag 5 \end{align}$

es decir, también es una sinusoide de la misma frecuencia que el voltaje instantáneo. La corriente adelanta al voltaje en 90° en el tiempo.

A continuación, en un inductor, supongamos que la corriente instantánea a través de él es una sinusoide de la forma$i(t) = I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}$. Entonces, de la ecuación (3), el voltaje instantáneo a través de ella es:

$\begin{align} v(t) &= L \, \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} [I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}] \\ &= L \, [- \omega \, I_\text{m} \sin{(\omega t + \phi_i)}] \\ &= - L \, \omega \, I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i - 90^\circ)} \\ &= L \, \omega \, I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i - 90^\circ + 180^\circ)} \\ &= L \, \omega \, I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i + 90^\circ)} \tag 6 \end{align}$

es decir, también es una sinusoide de la misma frecuencia que la corriente instantánea. El voltaje se adelanta a la corriente en 90° en el tiempo, o de manera equivalente, la corriente se atrasa al voltaje en 90° en el tiempo.

De las ecuaciones (4) a (6), podemos ver que siempre que aplicamos una corriente o voltaje sinusoidal a una resistencia, capacitor o inductor, el voltaje o corriente resultante también es sinusoidal de la misma frecuencia . Tenga en cuenta este hecho. Llamemos a esta observación #1 . (En realidad, esto es cierto después de que ha pasado un tiempo, y los llamados transitorios se han reducido a cero y se ha alcanzado el estado estacionario, pero ignoremos esto).

Además, como sabrá, podemos combinar sinusoides de diferente amplitud y diferente ángulo de fase pero la misma frecuencia en una sinusoide de diferente amplitud, diferente ángulo de fase pero también la misma frecuencia. Lee esta página si no lo sabes. Llamemos a esta observación #2 .

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La ley de voltaje de Kirchhoff establece que la suma de voltajes instantáneos es cero, y la ley de corriente de Kirchhoff establece que la suma de corrientes instantáneas es cero:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N} v_n(t) = 0 \tag 7$

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N} i_n(t) = 0 \tag 8$

En un circuito que consta solo de resistencias, inductores, capacitores y fuentes de voltaje y corriente sinusoidales independientes de la misma frecuencia, las leyes de Kirchhoff junto con la observación n.° 1 indican que en los circuitos de CA sumaremos voltajes y corrientes instantáneos de la misma frecuencia . Llamemos a esta observación #3 . Estas sumas de señales sinusoidales darán como resultado señales que también son sinusoidales y de la misma frecuencia, como vimos en la observación #2.

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Hablemos brevemente de los fasores.

Como sabrá, una señal sinusoidal de la forma$x(t) = X_\text{m} \cos{(\omega t + \phi)}$, que en realidad es una función real de variable real, puede representarse parcialmente como una constante compleja de la forma${\tilde X} = X_\text{m} e^{j \phi} = X_\text{m} \, \angle \phi = X_\text{m} \cos{(\phi)} + j \sin{(\phi)}$, llamado fasor . La relación entre un fasor y su señal correspondiente es$x(t) = \Re{[{\tilde X} \, e^{j \omega t}]}$.

Observe que el fasor no incluye la frecuencia cíclica o la frecuencia angular de la señal y, por lo tanto, no representa completamente la señal. Pero esto no importa porque, como vimos, todas las señales en un circuito de CA que consta de fuentes independientes de la misma frecuencia, resistencias, capacitores e inductores, tendrán la misma frecuencia.

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La impedancia (compleja) se define como la relación entre la tensión del fasor y la corriente del fasor:

${\hat Z} = \dfrac{\tilde V}{\tilde I} \tag 9$

Encontremos la impedancia (compleja) de los tres elementos pasivos.

Para una resistencia, en la ecuación (4), la corriente instantánea es$i(t) = I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}$, que se puede escribir como$i(t) = \Re{[{\tilde I} \, e^{j \omega t}]}$, donde la corriente fasorial es:

${\tilde I} = I_\text{m} \, e^{j \phi_i}; \tag*{}$

y el voltaje instantáneo es$v(t) = R \, I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}$, que se puede escribir como$v(t) = \Re{[{\tilde V} \, e^{j \omega t}]}$, donde el voltaje del fasor es:

${\tilde V} = R \, I_\text{m} \, e^{j \phi_i}. \tag*{}$

Por lo tanto, la impedancia (compleja) de una resistencia es:

$\begin{align} {\hat Z} &= \dfrac{R \, I_\text{m} \, e^{j \phi_i}}{I_\text{m} \, e^{j \phi_i}} \\ &= R = R \, \angle 0^\circ \tag {10} \end{align}$

Luego, para un capacitor, en la ecuación (5) el voltaje instantáneo es$v(t) = V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v)}$, que se puede escribir como$v(t) = \Re{[{\tilde V} \, e^{j \omega t}]}$, donde el voltaje del fasor es:

${\tilde V} = V_\text{m} \, e^{j \phi_v}; \tag*{}$

y la corriente instantanea es$i(t) = C \, \omega \, V_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_v + 90^\circ)}$, que se puede escribir como$i(t) = \Re{[{\tilde I} e^{j \omega t}]}$, donde la corriente fasorial es:

${\tilde I} = C \, \omega \, V_\text{m} e^{j (\phi_v + 90^\circ)}. \tag*{}$

Por lo tanto, la impedancia (compleja) de un capacitor es:

$\begin{align} {\hat Z} &= \dfrac{V_\text{m} \, e^{j \phi_v}}{C \, \omega \, V_\text{m} \, e^{j (\phi_v + 90^\circ)}} \\ &= \dfrac{1}{C \, \omega \, e^{j 90^\circ}} \\ &= \dfrac{1}{j \, \omega \, C} = -\dfrac{j}{\omega \, C} = \dfrac{1}{\omega \, C} \, \angle -90^\circ \tag {11} \end{align}$

Luego, para un inductor, en la ecuación (6) la corriente instantánea es$i(t) = I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i)}$, que se puede escribir como$i(t) = \Re{[{\tilde I} \, e^{j \omega t}]}$, donde la corriente fasorial es:

${\tilde I} = I_\text{m} \, e^{j \phi_i}; \tag*{}$

y el voltaje instantáneo es$v(t) = L \, \omega \, I_\text{m} \cos{(\omega t + \phi_i + 90^\circ)}$, que se puede escribir como$v(t) = \Re{[{\tilde V} e^{j \omega t}]}$, donde el voltaje del fasor es:

${\tilde V} = L \, \omega \, I_\text{m} \, e^{j (\phi_i + 90^\circ)}. \tag*{}$

Por lo tanto, la impedancia (compleja) de un inductor es:

$\begin{align} {\hat Z} &= \dfrac{L \, \omega \, I_\text{m} \, e^{j (\phi_i + 90^\circ)}}{I_\text{m} \, e^{j \phi_i}} \\ &= L \, \omega \, e^{j 90^\circ} \\ &= j \, \omega \, L = \omega \, L \, \angle 90^\circ \tag {12} \end{align}$

Si inspecciona las ecuaciones (10) a (12), verá que en la ecuación (9), el ángulo de fase entre la corriente instantánea y el voltaje instantáneo de una resistencia, un capacitor y un inductor se tiene en cuenta en el ángulo de fase del ( complejo) impedancia . Creo que esto responde a tu pregunta:

¿Cómo podría calcularse la corriente usando I = V/Z, aunque I y la fuente V no estén en fase?

En caso de que se refiera a las amplitudes/valores pico/valores máximos, tome la magnitud de la impedancia (compleja) de la ecuación (9):

$\begin{align}|{\hat Z}| &= \left| \dfrac{\tilde V}{\tilde I} \right| \\ &= \dfrac{|\tilde V|}{|\tilde I|} \\ &= \dfrac{|V_\text{m} \, e^{j \phi_v}|}{|I_\text{m} \, e^{j \phi_i}|} \\ &= \dfrac{V_\text{m}}{I_\text{m}} \tag {13} \end{align},$

y ahí lo tiene, la ecuación anterior muestra que podemos calcular la magnitud de la impedancia (compleja) simplemente como la relación entre el pico de voltaje y el pico de corriente .

En caso de que se refiera a los valores RMS/efectivos, recuerde que el valor RMS de una señal sinusoidal es$X_\text{RMS} = X_\text{m}/\sqrt{2}$, de donde obtenemos el valor máximo como$X_\text{m} = \sqrt{2} \, X_\text{RMS}$. Sustituyendo esto en la ecuación (13):

$\begin{align}|{\hat Z}| &= \dfrac{\sqrt{2} \, V_\text{RMS}}{\sqrt{2} \, I_\text{RMS}} \\ &= \dfrac{V_\text{RMS}}{I_\text{RMS}} \tag {14} \end{align},$

y ahí lo tiene, la ecuación anterior muestra que podemos calcular la magnitud de la impedancia (compleja) simplemente como la relación entre el voltaje RMS y la corriente RMS .

Tenga en cuenta que en las ecuaciones (13) y (14), los ángulos de fase no son necesarios; solo trabajamos con magnitudes en esas ecuaciones.

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La ecuación (9) es la ley de Ohm generalizada al dominio fasorial. Verifiquemos si las leyes de Kirchhoff se generalizan al dominio fasorial. KVL establece que:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N} v_n(t) = v_1(t) + v_2(t) + \cdots + v_N(t) = 0 \tag*{}$

En los circuitos de CA, como vimos, todos los voltajes tendrán la misma frecuencia, por lo que podemos escribir los voltajes instantáneos anteriores en términos de sus fasores:

$\begin{align} 0 &= \Re[{\tilde V_1} \, e^{j \omega t}] + \Re[{\tilde V_2} \, e^{j \omega t}] + \cdots + \Re[{\tilde V_N} \, e^{j \omega t}] \\ &= \Re[{\tilde V_1} \, e^{j \omega t} + {\tilde V_2} \, e^{j \omega t} + \cdots + {\tilde V_N} \, e^{j \omega t}] \\ &= \Re[({\tilde V_1} + {\tilde V_2} + \cdots + {\tilde V_N}) e^{j \omega t}] \tag*{} \end{align}$

La ecuación anterior dice que (la parte real de) el producto de los factores$({\tilde V_1} + {\tilde V_2} + \cdots + {\tilde V_N})$y$e^{j \omega t}$es cero, por lo tanto uno (o ambos) de esos factores debe ser cero. Pero$e^{j \omega t}$nunca es cero, por lo que el primer factor debe ser cero:

${\tilde V_1} + {\tilde V_2} + \cdots + {\tilde V_N} = \displaystyle\sum_{n=1}^{N} {\tilde V}_n = 0, \tag*{}$

¡que tiene la misma forma que KVL para voltajes instantáneos! Entonces KVL es válido para fasores. Lo mismo puede decirse de KCL.

Entonces, podemos usar la ley de Ohm generalizada y las leyes de Kirchhoff para analizar y diseñar circuitos de CA, usando números complejos.