Trabajo máximo obtenido mezclando 2 gases

La entropía de$N$moléculas de un gas ideal en un volumen$V$a temperatura$T$se puede expresar como:

Aquí$V_0$y$T_0$definir condiciones estándar arbitrarias en las que se conoce la entropía, y$C_v$es la capacidad calorífica total a volumen constante. Para derivar esta fórmula, puede considerar el cambio en la entropía desde las condiciones estándar hasta el estado final utilizando un proceso isotérmico a presión constante donde se agrega calor al sistema, lo que produce el primer término. Después de eso podemos cambiar la temperatura de$T_0$a$T$al agregar calor al sistema a volumen constante, el cambio de entropía debido a ese proceso viene dado por el segundo término.

Por lo tanto, la entropía inicial del sistema se puede expresar como:

dónde$K$es una constante (para problemas donde el número total de moléculas en el sistema no cambia). El estado final será un estado donde las moléculas están (o se puede considerar que están) en un volumen de$V_1 + V_2$a cierta temperatura$T_f$. Si ya no se puede extraer trabajo, los gases en las dos cajas deben estar en equilibrio térmico entre sí y entonces no importa si hay o no una separación entre los gases. La entropía final viene dada por:

Entonces, para cualquier proceso que involucre solo las dos cajas,$S_{\text{final}}\geq S_{\text{initial}}$. La cantidad máxima de trabajo que podemos extraer del sistema se obtiene en el caso reversible donde la entropía permanece igual. Podemos ver esto considerando dos procesos, uno donde la entropía aumenta y otro donde permanece igual. Entonces podemos pasar de lo último a lo primero vertiendo energía extraída en forma de trabajo como calor en el sistema a volumen constante de$V_1+V_2$hasta llegar a la misma entropía que el sistema anterior (y como resultado también la temperatura final del último sistema, ya que el volumen, la entropía y el número de moléculas determinan completamente el estado termodinámico del sistema). Dado que luego hemos desperdiciado trabajo para llegar al estado final anterior, con el aumento de la entropía, siempre está peor que cuando la entropía permanece igual.

Para encontrar la cantidad máxima de trabajo, necesitamos igualar$S_{\text{final}}$a$S_{\text{initial}}$, entonces podemos resolver para$T_{f}$, la caída en la energía interna es entonces la cantidad máxima de trabajo extraído del sistema (tenga en cuenta que no se puede haber agregado o extraído calor del sistema, porque la entropía total se ha mantenido igual, por lo tanto, todo el cambio de energía interna se debe trabajar). Resolviendo para$T_f$rendimientos:

donde hemos usado eso$C_V = \dfrac{f}{2}N k$y$\gamma = \dfrac{f+2}{f}$dónde$f$es el número efectivo de grados de libertad por molécula.

La cantidad total de trabajo$W$que se puede extraer es por lo tanto igual a:

Tienes esto bastante bien dopado. Para obtener el máximo rendimiento, puede mantener manualmente una partición adiabática entre ellos y permitir que los gases muevan la partición muy gradualmente hasta que las presiones se igualen. El trabajo que el tabique transmita a tu mano será el trabajo máximo. Esto es lo mismo que el trabajo neto si cada gas cambia de volumen de forma adiabática y reversible hasta que cada uno alcanza una presión final que iguala la del otro. Entonces, primero exprese la presión como una función del volumen de cada uno y establezca las presiones finales iguales. Esto le dirá el volumen final de cada uno, la presión final y el estado final. Luego puede calcular el trabajo realizado por cada uno y luego el trabajo neto.