¿Todo circuito finito es "soluble" usando la ley de Ohm y las reglas de bucle de Kirchhoff? [duplicar]

Las otras respuestas han notado que el número total de ecuaciones es correcto, pero eso no es suficiente para garantizar una solución única. Hay al menos dos formas en que las cosas pueden fallar:

• Las ecuaciones son inconsistentes. Por ejemplo, considere un circuito que consta de dos circuitos ideales.$1$Baterías de voltios apuntando en el sentido de las agujas del reloj. Entonces la regla del bucle de Kirchoff es$1+1 = 0$que no tiene solución.
• Las ecuaciones están incompletas. Supongamos que en algún lugar de su circuito, hay un circuito cerrado que tiene resistencia cero, y posiblemente un montón de baterías cuyas fem se suman a cero. (Por ejemplo, tome el ejemplo anterior y voltee una de las baterías). Entonces, la regla del bucle de Kirchoff es$0 = 0$que no dice nada en absoluto; la corriente en ese circuito es indeterminada.

De hecho, no tener soluciones o soluciones no únicas es bastante común en modelos físicos simples. A menudo, significa que las idealizaciones utilizadas en ese modelo se están desmoronando. Los problemas que mencioné se pueden solucionar dando a todas las baterías y cables pequeñas resistencias internas.

Con una batería y cualquier combinación de resistencias que no cortocircuiten la batería, existe una solución única para los voltajes y las corrientes.
La idea de superposición para un circuito con cualquier número de baterías permite encontrar la contribución a las corrientes y voltajes de cada batería de forma independiente con la condición de que la batería no esté cortocircuitada.
Las corrientes y los voltajes aportados por cada batería por separado se pueden sumar para encontrar las corrientes y los voltajes de todo el circuito.

Entonces, como se muestra en el esquema, la respuesta a la pregunta ¿ Todo circuito finito es "soluble" usando la ley de Ohm y las reglas de bucle de Kirchhoff? , con solo resistencias y baterías en el circuito, es "sí".

Posiblemente no dejé lo suficientemente claro lo que quise decir con la frase con la condición de que la batería no esté cortocircuitada.
El cortocircuito podría ocurrir si hubiera dos baterías solas en paralelo. La única configuración que funcionaría con dos baterías en paralelo es si estuvieran conectadas con la misma polaridad y tuvieran la misma fem, entonces las dos baterías podrían tratarse como una sola.

La respuesta de Christophe es realmente genial, pero si es demasiado confuso para usted, la forma de ingeniería de expresar este hecho es decir que en cualquier circuito, el número de incógnitas en la ecuación del circuito es igual al número de conocidos, por lo que un algebraico la solución siempre existe.

La relación de Euler para un gráfico plano ( Wikipedia ) es probablemente un ingrediente esencial de una demostración. Denotar$e$el número de aristas,$f$el número de caras y$n$el número de nodos, la relación de Euler establece que

Suponga que un circuito eléctrico es un caso particular de un gráfico plano. Queremos calcular la intensidad que fluye en cada rama (o borde) de este gráfico. Por lo tanto, hay$e$variables En cada nodo, la suma de las intensidades debe desaparecer (ley de Kirchhoff). Tenga en cuenta que si tenemos dos nodos conectados por una o varias aristas, las dos leyes de Kirchhoff escritas para estos dos nodos son en realidad idénticas. El número de leyes de Kirchhoff independientes no es$e$pero$e-1$.

Alrededor de cada cara del gráfico, la suma de las tensiones eléctricas debería desaparecer (Ley de voltaje de Kirchhoff). Debido a la definición del número de caras de un gráfico plano, tenemos$f-1$(y no$f$) Leyes de Voltaje de Kirchhoff en nuestros circuitos.

En conclusión, existen por tanto$(n-1)+(f-1)$ecuaciones Según la relación de Euler, el número de ecuaciones$n+f-2$es igual al número de variables.

Probablemente todavía hay algo de trabajo para hacer esto riguroso (cualquier ayuda para mejorarlo es bienvenida) pero puede ser la idea de una prueba.

Anexo Se puede encontrar una prueba completa y accesible en el PDF en papel

La prueba que necesita es que el significado de "resolver el circuito" es encontrar valores para todas las incógnitas que satisfagan las ecuaciones de las restricciones. La ley de voltaje de Kirchhoff captura todas estas restricciones. La prueba de esto es un poco de prueba negativa. Por lo general, prueba esto mostrando que se siente cómodo modelando un circuito de la vida real con baterías ideales, cables ideales y resistencias ideales.

Es trivial mostrar que esto no modela todos los circuitos posibles, pero encontrará que es un modelo bastante bueno en todos los casos. Independientemente, su redacción del enunciado del problema indica que se supone que este modelo es suficiente.

Una vez que tenga esto, puede demostrar que todas estas restricciones son lineales, por lo que está resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.

Por supuesto, podemos demostrar cuándo podemos resolver un circuito con estas formas poniendo estas restricciones en forma de matriz y luego preguntando si la matriz es invertible. Si es así, entonces el sistema es solucionable. Y, por supuesto, como han señalado otros, esto se puede solucionar cuando:

• Hay tantas ecuaciones como variables
• No hay inconsistencias o ecuaciones duplicadas en el sistema (lo que hará que la matriz sea singular)

Estas cosas no sucederán en circuitos bien formados, pero pueden aparecer cuando hace cosas como cortar una batería o tener dos cables que van entre los mismos nodos (por lo tanto, no sabe cuánta corriente transporta cada uno). Por lo general, resolvemos esto último agrupando los cables, y lo primero se resuelve haciendo que el circuito sea menos horrible o usando modelos más completos de baterías y cables.