Tiempo necesario para llegar de un punto a otro en refracción [cerrado]

Según el principio de Fermat, el camino recorrido entre dos puntos por un rayo de luz es el camino que se puede recorrer en el menor tiempo.

Supongamos que la fuente de luz es un punto$(x_1, y_1)$y la velocidad de la luz en este medio es$v_1$mientras que el otro punto (destino) en el medio adyacente sea$(x_2, y_2)$y la velocidad de la luz en el medio ser$v_2$. se da que$y_1 < 0$y$y_2 > 0$tal que$y = 0$es la interfaz entre los dos medios.

Minimizando la función de tiempo obtenemos la ley de Snell:$\displaystyle{\frac{v_1}{\sin \theta_1} = \frac{v_2}{\sin \theta_2}}$. Pero quería saber el valor mínimo del tiempo necesario para llegar desde$(x_1 , y_1)$a$(x_2 , y_2)$. Si el punto de incidencia en la interfase de los dos medios es$(x , 0)$entonces -

dónde$x_1 , y_1, x_2, y_2, v_1, v_2$son constantes.

yo diferencié$T(x)$con respecto a$x$es decir

$$\frac{dT}{dx} = \frac{x- x_1}{v_1 \sqrt{(x - x_1)^2 + y_1^2}} + \frac{x- x_2}{v_2 \sqrt{(x - x_2)^2 + y_2^2}} = 0$$

Pero no pude encontrar$x$de la ecuación anterior y sustituir en$T(x)$para encontrar su valor mínimo.