Tercera ley de movimiento de Newton, ¿quién puede decirme cómo deducir a continuación?

Question

Tercera ley de movimiento de Newton, ¿quién puede decirme cómo deducir a continuación?

shiyi

fuente: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/lectures/node11.html#e3.24

Considere un sistema de N objetos puntuales que interactúan entre sí.

La segunda ley del movimiento de Newton aplicada a la $i$ el objeto produce:

{metro}_{i} \frac{d^{2} \vec{r_{i}}}{d t^{2}} = \sum_{j = 1, norte}^{j \neq i} \vec{F_{i j}}

$m_i \frac {d^2 \vec {r_i}}{dt^2}=\sum_{j=1,N}^{j\neq i} \vec {f_{ij}}$ Tomemos ahora la ecuación anterior y sumemos todos los objetos. Obtenemos

\sum_{i = 1, norte} {metro}_{i} \frac{d^{2} \vec{r_{i}}}{d t^{2}} = \sum_{i, j = 1, norte}^{j \neq i} \vec{F_{i j}}

$\sum_{i=1,N} m_i \frac {d^2 \vec {r_i}}{dt^2}= \sum_{i,j=1,N}^{j\neq i} \vec {f_{ij}}$ Debido a la tercera ley de movimiento de Newton, el lado derecho de la ecuación es igual a 0, pero la pregunta es que no puedo entender cómo el lado izquierdo de la ecuación se vuelve hacia abajo.

METRO \frac{d^{2} \vec{r_{C metro}}}{d t^{2}} = \vec{0}

$M\frac {d^2\vec {r_{cm}}}{dt^2}=\vec 0$ dónde

M = \sum_{i = 1}^{N} m_{i}

$M=\sum_{i=1}^{N}m_i$ es la masa total. La cantidad

\vec{r_{c m}}

$\vec {r_{cm}}$ es el vector desplazamiento del centro de masa del sistema, que es un punto imaginario cuyas coordenadas son los promedios ponderados de masa de las coordenadas de los objetos que constituyen el sistema: es decir,

\vec{r_{C metro}} = \frac{\sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i} \vec{r_{i}}}{\sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i}}

$\vec {r_{cm}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i \vec {r_i}}{\sum_{i=1}^{N}m_i}$

Respuestas (3)

Tercera ley de movimiento de Newton, ¿quién puede decirme cómo deducir a continuación?

usuario238497 · Answer 1

El vector de posición del centro de masa se define como:

r_{C metro} = \frac{\sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i} r_{i}}{METRO}

$\mathbf {r_{cm}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i \mathbf {r_i}}{M}$ es decir,

METRO r_{C metro} = {metro}_{1} r_{1} + {metro}_{2} r_{2} + {metro}_{3} r_{3} + . . . + {metro}_{norte} r_{norte}

$M \mathbf {r_{cm}}=m_1 \mathbf r_1+m_2 \mathbf r_2+ m_3 \mathbf r_3+...+m_N \mathbf r_N$

\Rightarrow METRO \frac{d^{2} r_{C metro}}{d t^{2}} = {metro}_{1} \frac{d^{2} r_{1}}{d t^{2}} + {metro}_{2} \frac{d^{2} r_{2}}{d t^{2}} + . . . + {metro}_{norte} \frac{d^{2} r_{norte}}{d t^{2}}

$\Rightarrow M \frac {d^2 \mathbf {r_{cm}}}{dt^2} = m_1 \frac {d^2 \mathbf {r_{1}}}{dt^2}+ m_2 \frac {d^2 \mathbf {r_{2}}}{dt^2}+...+m_N \frac {d^2 \mathbf {r_{N}}}{dt^2}$ (Doble diferenciación de ambos lados) Aquí

M = \sum_{i = 1}^{N} m_{i}

$M=\sum_{i=1}^{N}m_i$ . Dado que la diferenciación única del vector de posición da velocidad

v

$\mathbf v$ y la doble diferenciación da aceleración

a

$\mathbf a$ . Por lo tanto

\frac{d^{2} r_{C metro}}{d t^{2}} = a

$\frac {d^2 \mathbf {r_{cm}}}{dt^2} = \mathbf a$ Esto significa que

\sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i} \frac{d^{2} r_{i}}{d t^{2}} = METRO \frac{d^{2} r_{C metro}}{d t^{2}} = METRO a = F_{norte mi t}

$\sum_{i=1}^{N} m_i \frac {d^2 \mathbf {r_i}}{dt^2} = M \frac {d^2 \mathbf {r_{cm}}}{dt^2} = M \mathbf a = \mathbf {F_{net}}$

Ahora bien, si la fuerza neta que actúa sobre el objeto es $\mathbf 0$ entonces

METRO a = METRO \frac{d^{2} r_{C metro}}{d t^{2}} = 0

$M \mathbf a= M\frac {d^2 \mathbf {r_{cm}}}{dt^2}=\mathbf 0$

Tenga en cuenta que las fuerzas internas no pueden causar aceleración ya que siempre vienen en un par de acción-reacción.

nick aboud · Answer 2

Prueba esto: toma la definición

\vec{r_{C metro}} = \frac{\sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i} \vec{r_{i}}}{\sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i}},

$\vec {r_{cm}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i \vec {r_i}}{\sum_{i=1}^{N}m_i},$

multiplica ambos lados por $M$ , y derivar la ecuación dos veces con respecto al tiempo.

Alejandro Isa · Answer 3

Se han dado respuestas claras antes de escribir este comentario. Probablemente la forma más fácil de derivar la ecuación en cuestión es por definición de centro de masa. Estas respuestas se han dado, así que no lo haré aquí. Sin embargo, trataré de llegar a la pregunta de las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas, ya que espero que les dé una idea.

Considere el sistema de n partículas. Representaré la fuerza total que actúa sobre una i -ésima partícula como la suma de la fuerza externa y las fuerzas experimentadas por otras partículas.

Por lo tanto:

Forzar i^{t h} partícula: {\vec{F}}_{i} = {\vec{F}}_{i}^{mi X t} + \sum_{j = 1, j \neq i}^{norte} {\vec{F}}_{i j}

$\text{Force on }i^{th}\text{partilcle:}\qquad\vec F_i=\vec F_i^{ext}+\sum_{j=1,j\neq i}^n \vec F_{ij}$

por Newton 3^{r d} ley: {\vec{F}}_{i j} = - {\vec{F}}_{j i}, donde i, j representan la fuerza sobre i^{t h} partícula debido a j^{t h} partícula.

$\text{By Newton's }3^{rd}\,\text {law:}\qquad\vec F_{ij}=-\vec F_{ji},\text{where i, j represent force on }i^{th}\,\text{particle due to}j^{th}\,\text{particle.}$ Así, la fuerza total sobre n partículas viene dada por:

\sum_{i = 1}^{norte} {\vec{F}}_{i} = \vec{F} = \sum_{i = 1}^{norte} {\vec{F}}_{i}^{mi X t} + \sum_{i = 1}^{norte} (\sum_{j = 1, j \neq i}^{norte} {\vec{F}}_{i j})

$\sum_{i=1}^n\vec F_i=\vec F=\sum_{i=1}^n\vec F_i^{ext}+\sum_{i=1}^n\ \Biggl(\sum_{j=1,j\neq i}^n \vec F_{ij}\Biggr)$

\sum_{i = 1}^{norte} (\sum_{j = 1, j \neq i}^{norte} {\vec{F}}_{i j}) = \sum_{j = 1}^{norte} (\sum_{i = 1, i \neq j}^{norte} {\vec{F}}_{j i}) = - \sum_{j = 1}^{norte} (\sum_{i = 1, i \neq j}^{norte} {\vec{F}}_{i j}) = - \sum_{i = 1}^{norte} (\sum_{j = 1, j \neq i}^{norte} {\vec{F}}_{i j})

$\sum_{i=1}^n\ \Biggl(\sum_{j=1,j\neq i}^n \vec F_{ij}\Biggr)=\sum_{j=1}^n\ \Biggl(\sum_{i=1,i\neq j}^n \vec F_{ji}\Biggr)=-\sum_{j=1}^n\ \Biggl(\sum_{i=1,i\neq j}^n \vec F_{ij}\Biggr)=-\sum_{i=1}^n\ \Biggl(\sum_{j=1,j\neq i}^n \vec F_{ij}\Biggr)$ implica que

\sum_{i = 1}^{norte} (\sum_{j = 1, j \neq i}^{norte} {\vec{F}}_{i j}) = 0

$\sum_{i=1}^n\ \Biggl(\sum_{j=1,j\neq i}^n \vec F_{ij}\Biggr)=0$

Por lo tanto, la fuerza total sobre n partículas es la suma de todas las fuerzas externas, ya que las fuerzas internas entre partículas se anulan.

Finalmente, recuperando su respuesta, sabemos que: \vec{F} = METRO {\vec{a}}_{C}

$\text{Finally getting back your answer, we know that:}\quad\vec F=M\vec a_c\quad$ De este modo:

\vec{F} = \sum_{i = 1}^{norte} {\vec{F}}_{i}^{mi X t} = \sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i} {\vec{a}}_{i} ⟹ \frac{\sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i} {\vec{a}}_{i}}{METRO} = {\vec{a}}_{C} donde M = \sum_{i = 1}^{norte} {metro}_{i}

$\vec F=\sum_{i=1}^n\vec F^{ext}_i=\sum_{i=1}^nm_i\vec a_i\implies \frac{\sum_{i=1}^nm_i\vec a_i}{M}=\vec a_c\quad \text{where M}=\sum_{i=1}^nm_i$

La ecuación nos dice que la suma de cada fuerza externa en i 'th puede expresarse simplemente como masa total M y aceleración del centro de masa. Trivialmente, si las fuerzas externas suman cero, se aplica la Primera Ley de Newton.

Tercera ley de movimiento de Newton, ¿quién puede decirme cómo deducir a continuación?

shiyi

Respuestas (3)

usuario238497

nick aboud

Alejandro Isa

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