Agregaré una pregunta mejor redactada aquí. ¿Necesitamos considerar los fundamentos cuánticos para formar una teoría cuántica de la gravedad? El tipo de pregunta fundamental en la que estoy pensando se expresa en el artículo reciente sobre la "realidad de la función de onda" .
Me he convencido de que si trasladamos la física a un fundamento teórico de categorías (uno que evite la presentación de la teoría de categorías EN CONJUNTO), entonces podríamos evitar problemas de estados ónticos y epistémicos para la teoría cuántica. ¿Alguien está totalmente en desacuerdo? He estado trabajando en una presentación de la teoría de categorías que se parece más a la teoría de tipos y evitaría cosas como "La categoría de grupos consiste en el conjunto de todos los grupos". La razón por la que evitamos problemas de óntico/epistémico es porque las matemáticas se basan en el concepto de que "morfismo" es igual a "relación cuasal" en lugar de "mi conjunto de estados es... bueno... un conjunto de elementos que existe en virtud de del hecho de que los elementos existen". Podríamos cambiar la "relación causal" por una relación más genérica que refleje "
No estoy de acuerdo en que sea significativo o interesante discutir el "estado óntico" de los conjuntos, y si considera que la categoría es fundamental o el conjunto. Lo único que usan los físicos es la computación, eso es lo que vemos en la naturaleza. La mecánica cuántica es un procedimiento que establece un cálculo que coincide con cualquier situación dada en la naturaleza. Los conjuntos y categorías son una construcción elaborada que usas en etapas intermedias para hacer declaraciones sobre computación, que son las cosas observables.
Ni los conjuntos (infinitos) ni las categorías (infinitas) son directamente observables en sí mismos, son conceptos que aclaran cómo funciona la computación al establecer una maquinaria que unifica las pruebas. Los conjuntos son importantes porque te enseñan sobre los ordinales, que ordenan las teorías aritméticas por fuerza (y estas teorías aritméticas obviamente están vinculadas a la computación). Otros conjuntos son útiles porque te permiten hablar sobre geometría y aritmética en la misma estructura. Las categorías son importantes porque te dicen cómo calcular una homología complicada y, al mismo tiempo, hacen analogías extremadamente vagas en general, de modo que te permiten axiomatizar cosas que de otro modo serían captables intuitivamente pero difíciles de escribir. Ambas actividades son productivas en matemáticas.
Pero la física no vive en la categoría "CONJUNTO", vive en la categoría "PROGRAMA DE COMPUTADORA" (y también en límites naturales de tamaño y tiempo de ejecución potencialmente infinitos). Hay muchas cosas de las que habla la gente en "SET" que no pueden ser físicas bajo ninguna circunstancia, porque no son computables: por ejemplo, una teoría en la que el electrón se desvía hacia la izquierda o hacia la derecha en el momento t, según la solución al problema de detención. Uno debe formular una teoría como un programa de computadora en principio, no como una construcción de teoría de conjuntos.
Además, la física ciertamente no se preocupa por la ontología o cualquier otra cosa que no esté lógicamente bien definida positivistamente.
La idea de que la evolución del tiempo en física es un morfismo en la categoría cuyos objetos son los estados es una idea fina y productiva, y la escuché asociada con Segal. Segal lo usa para dar una formulación axiomática de lo que significa ser una teoría de campo topológica. Para comprender la teoría de campos topológicos, debe aprender a calcular, pero la estructura es categórica y se expresa mejor utilizando la categoría de círculos y líneas unidimensionales (o superficies bidimensionales para la teoría de campos 3D) y morfismos que son bordismos entre ellos (uno -variedades de dimensiones superiores cuyos límites son las variedades dadas al principio del morfismo y al final). Los bordismos describen integrales de ruta topológicas que evolucionan en el tiempo entre diferentes estados múltiples.
El axioma de la composición es una parte trivial pero importante del formalismo de la integral de trayectoria --- dice que se pueden pegar integrales de trayectoria a lo largo de límites comunes para hacer una integral de trayectoria en el espacio más grande (esta es, en última instancia, la afirmación de que la evolución del tiempo es una composición de operadores lineales en mecánica cuántica). Pero el aspecto topológico de la teoría se expresa de manera compacta diciendo que los objetos son 2-variedades topológicas con límites (los objetos son solo topológicos). Esta idea es sin duda productiva y realmente interesante, y ha contribuido a las matemáticas 3D en las últimas décadas.
de todos modos, la idea más general de que uno debería reemplazar 'estado' con 'objeto' y 'evolución temporal' con 'morfismo' es algo bueno, pero solo es útil para hacer analogías estructurales entre diferentes procedimientos computacionalmente bien definidos, para ver que están relacionados entre sí. Lo real con lo que te enfrentas al final no puede ser tan abstracto: tiene que relacionar resultados medibles de manera significativa.
Este es un punto de vista interesante, pero además desea hacer una teoría puramente relacional para las probabilidades al principio y al final, de modo que las relaciones cuánticas puedan expresarse como relaciones de tipo categoría entre los resultados. Esto no es tan productivo (creo), porque la estructura real de los resultados es la probabilidad de resultado, y el mecanismo para calcular esta probabilidad sumando las amplitudes de los estados intermedios ya es muy concreto, y una capa de abstracción no parece para obtener cualquier nueva forma de calcular las probabilidades.
Pero podría ser bueno explorar qué tipo de estructuras pueden reproducir la teoría de la probabilidad de forma asintótica (como lo hace QM) cuando junta un gran número de elementos de forma decoherente. Tal vez haya otra forma de hacerlo utilizando alguna estructura intermedia loca alternativa, que no sean amplitudes complejas. No sé, es difícil decir qué es exactamente lo que se requiere de un cálculo de amplitud, y las categorías han sido útiles en el pasado para axiomatizar las condiciones que se requieren en un cálculo para que tenga propiedades dadas. Así que no quiero decir que esta sea una mala idea, simplemente no sé qué propiedades categóricas quieres para obtener una teoría de tipo cuántico que generalice QM de una manera significativa (que no es la teoría de la matriz de densidad , o mecánica cuántica real/cuaterniónica, por ejemplo,