Suponga que una estrella tiene una densidad de masa uniforme. Entonces, ¿cómo se escala la temperatura en función de la distancia al centro?

Question

Suponga que una estrella tiene una densidad de masa uniforme. Entonces, ¿cómo se escala la temperatura en función de la distancia al centro?

John

Suponga que una estrella tiene una densidad de masa uniforme. Entonces, ¿cómo se escala la temperatura en función de la distancia al centro?
Nota: no estoy buscando una respuesta que involucre derivaciones o integraciones.

Esto es lo que hice:
la estrella está en equilibrio, por lo que la presión a distancia $r$ debe ser igual a la fuerza de la gravedad a distancia $r$ . La presión está dada por $P=nKT$ , y entonces $P\times Area=F_g$ .
Después $nKT \times 4\pi r^2=F_G$ . La masa de la parte de la estrella contenida dentro del radio. $r$ del centro es $\frac{4}{3}\pi r^3\times m_sn$ donde $m_s$ es la masa de cada partícula y $n$ es el número de partículas por volumen.
Entonces podemos reescribir $nKT \times 4\pi r^2=m(\frac{G\frac{4}{3}\pi r^3\times m_snF}{r^2})$ y simplificar a $KTr=\frac{m}{3}Gm_s$ . aislar $T$ lo conseguimos $T=\frac{mGm_s}{3Kr}$ .
Esto parece implicar que la temperatura disminuye cuanto más nos alejamos del núcleo, sin embargo, no estoy seguro de qué $m$ debe representar en $F_g=mg$ , debería $m=m_s$ , es decir, ser la masa de una sola partícula? o hace $m$ depende del radio, en cuyo caso la respuesta que obtuve no es válida.
¿Alguien puede verificar que la respuesta que obtuve es correcta?

TazónDeRojo

m es la masa del material "sobre" esa área. Parte superior de la atmósfera, baja presión. Fondo de la atmósfera, alta presión.

céfiro

Piensa en lo que estás tratando de equilibrar. Usted dice que la fuerza debida a la presión térmica es

P \times A r e a

$P\times Area$ , pero ¿de qué es esa área? Si la presión se aplica al área de algo, entonces necesariamente debe equivaler a la fuerza de gravedad sobre ese mismo algo. Tiene una desconexión sobre a qué se aplica la presión y sobre qué está tirando la fuerza de la gravedad.

Carlos Witthoft

Asumir que una estrella así requiere romper algunas leyes de la física, por lo que me resulta difícil ver cómo se podría llegar a una estimación razonable de algo.

Respuestas (2)

Suponga que una estrella tiene una densidad de masa uniforme. Entonces, ¿cómo se escala la temperatura en función de la distancia al centro?

m es la masa del material "sobre" esa área. Parte superior de la atmósfera, baja presión. Fondo de la atmósfera, alta presión.
Piensa en lo que estás tratando de equilibrar. Usted dice que la fuerza debida a la presión térmica es $P\times Area$ , pero ¿de qué es esa área? Si la presión se aplica al área de algo, entonces necesariamente debe equivaler a la fuerza de gravedad sobre ese mismo algo. Tiene una desconexión sobre a qué se aplica la presión y sobre qué está tirando la fuerza de la gravedad.
Asumir que una estrella así requiere romper algunas leyes de la física, por lo que me resulta difícil ver cómo se podría llegar a una estimación razonable de algo.

ProfRob · Answer 1

No estoy seguro de lo que quiere decir con buscar una respuesta sin derivaciones. Por supuesto, tienes que resolver las matemáticas para obtener una respuesta matemática.

La respuesta manual es que la estrella tiene que estar más caliente en el medio, porque a una densidad constante la presión depende de la temperatura y se necesita un gradiente de presión negativo para soportar el peso del gas de arriba.

La respuesta es:

La ecuación del equilibrio hidrostático es

\frac{d PAG}{d r} = - ρ gramo,

$\frac{dP}{dr} = -\rho g,$ donde

ρ

$\rho$ es la densidad de masa y

g

$g$ es la gravedad en el radio

r

$r$ , que por el teorema de la capa de Newton se debe a la masa total interior a

r

$r$ .

Esta ecuación se deriva fácilmente al considerar el equilibrio de fuerzas en una losa de gas en la estrella (su error anterior fue no reconocer que es la diferencia de presión a través de la losa lo que proporciona la fuerza hacia arriba).

Si la densidad (y la composición y el estado de ionización) son constantes, entonces esta ecuación se puede escribir como

\frac{ρ k_{B}}{metro} \frac{d T}{d r} = - ρ \frac{4 π GRAMO r^{3} ρ}{3 r^{2}},

$\frac{\rho k_B }{m} \frac{dT}{dr} = -\rho \frac{4\pi G r^3 \rho}{3r^2},$ donde

m

$m$ es la masa por partícula y se ha supuesto un gas perfecto.

Integrando con respecto al radio y suponiendo $T(r=0)=T_0$ , obtenemos

T = T_{0} - \frac{2 π GRAMO ρ metro}{3 k_{B}} r^{2}

$T = T_0 - \frac{2\pi G\rho m}{3 k_B}r^2$

Finalmente, si la estrella tiene radio $R$ , entonces este será el radio en $T=0$ , ya que nada se podría soportar más allá de eso. En ese caso

T = \frac{2 π GRAMO ρ metro}{3 k_{B}} (R^{2} - r^{2})

$T = \frac{2\pi G\rho m}{3 k_B}(R^2-r^2)$

O en términos de masa $M$

T = \frac{GRAMO METRO metro}{2 k_{B} R^{3}} (R^{2} - r^{2})

$T = \frac{GM m}{2 k_B R^3}(R^2-r^2)$

La densidad constante es, por supuesto, una mala aproximación. El tratamiento anterior da una temperatura central de 7 millones de Kelvin para el Sol, asumiendo $m\simeq 10^{-27}$ kg.

Carlos Witthoft · Answer 2

Carlos Witthoft

Basado en información de CalTech , una densidad constante no es realista. No pondría mucha fe en ninguna ecuación derivada de tal suposición.

céfiro

Esto patina completamente sobre el punto del problema. Esta es claramente una pregunta de tarea que el OP está tratando de resolver y la suposición de densidad constante simplemente está ahí para facilitar el problema. Decir que tal cosa no existe es como decir que no puedes hacer física 101 porque los sistemas sin fricción no existen.

ProfRob

Haces este tipo de cálculo porque te da una respuesta que es correcta dentro de un factor de 2-3. Además, puedes decir si tu respuesta va a ser alta o baja mediante un razonamiento físico. Luego podría poner entre paréntesis dicha respuesta haciendo una suposición diferente.

Suponga que una estrella tiene una densidad de masa uniforme. Entonces, ¿cómo se escala la temperatura en función de la distancia al centro?

John

TazónDeRojo

céfiro

Carlos Witthoft

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ProfRob

Carlos Witthoft

céfiro

ProfRob

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