Simetrías de sabor de matrices de masa de neutrinos y leptones cargados

Las simetrías que considera son simetrías de sabor. Estos mezclan los tres campos que corresponden a las diferentes generaciones o familias de materia del Modelo Estándar.

Antes de agregar los términos de masa, hay un$U(3)^5$simetría de sabor en el modelo estándar sin neutrinos dextrógiros. Agregar neutrinos dextrógiros también agrega otro$U(3)$simetría. Estas son redefiniciones globales de los campos, tomando combinaciones lineales y sumando fases de tal manera que los términos cinéticos son invariantes. Así que cada uno$U(3)$está vinculado a uno de los campos de materia fundamentales del Modelo Estándar, que son

• el doblete del quark zurdo,
• quarks hacia arriba diestros
• quarks hacia abajo diestros
• el doblete de leptones para zurdos,
• electrones diestros

y posiblemente

• neutrinos diestros.

En general, dado que estas son solo simetrías globales, no necesitan ser respetadas por los términos de masa. Para matrices generales de Yukawa, el$U(3)$las simetrías se pueden usar para simplificar estas matrices. Por ejemplo, en el sector de los quarks podemos usar el$U(3)^3$simetría para diagonalizar una matriz a través de una transformación bi-unitaria. Tratar de hacer lo mismo con la otra matriz de Yukawa requeriría un análisis general$U(3)^4$simetría, que no está allí. Estamos atascados con una matriz unitaria que mezcla diferentes estados propios de masa en interacciones: la matriz CKM.

En el sector de los leptones, las cosas son similares. tenemos un mundial$U(3)^3$simetría que podemos usar para simplificar las matrices de masa. Como ejemplo, podemos usar la libertad para redefinir los electrones dextrógiros y los dobletes de leptones leptónicos leptónicos para diagonalizar la matriz de masa de leptones cargados de inmediato. Esto nos deja solo con el$U(3)$simetría de los neutrinos dextrógiros para simplificar las masas de neutrinos en general.

Si las masas de neutrinos surgen solo de una matriz de Yukawa con entradas diminutas (lo cual es una posibilidad), podemos producir de nuevo una matriz unitaria que rija la mezcla de neutrinos, la matriz PMNS.

Si hay un mecanismo de balancín, en realidad hay dos matrices que forman las masas de los neutrinos: la matriz de Yukawa, que puede ser una matriz compleja general, y la matriz de masas de Majorana, que tiene que ser simétrica.

$$\mathcal L_m \supset v_1 \nu_i \nu^c_j Y_\nu^{ij} + \nu^c_i \nu^c_j M_\nu^{ij}$$ Siempre podemos diagonalizar la matriz de masa de Majorana con una transformación ortogonal (compleja), pero esto ya consume mucha de nuestra libertad para simplificar la matriz de Yukwa.

Por lo tanto, a veces se restringe aún más la forma de la matriz de masa$M_\nu$o la matriz de Yukawa$Y_\nu$. Si

$$G^T M_\nu G = M_\nu$$ para un grupo de transformaciones $G$, esto significa que podemos diagonalizar $M_\nu$y aún tengo todas las transformaciones $G$izquierda para simplificar la matriz de Yukawa. Si además imponemos algunas simetrías en $Y_\nu$, incluso podemos lograr que la matriz de mezcla en el sector de neutrinos sea más restringida que una matriz unitaria arbitraria. Como ejemplo, se puede restringir $M_\nu$y $Y_\nu$tal que la matriz de mezcla tiene la forma tri-bi-máxima .

Puede ser un poco confuso desentrañar todas las transformaciones involucradas. Ayuda entender primero que hay un$U(3)$simetría para cada fermión fundamental (que no tiene masa antes de que se rompa la simetría electrodébil). Estas simetrías se pueden usar para simplificar las matrices de masas sin introducir ninguna mezcla familiar. No son suficientes para diagonalizar completamente todas las matrices que aparecen, por lo que nos queda una matriz CKM unitaria.

Si no permitimos las matrices de masa más generales, se puede obtener una matriz de mezcla más específica y más simple. Esta es una suposición modelo, aunque a menudo está motivada por algún principio de física de alta energía.

Para replantearlo de otra manera: en realidad, las simetrías de sabor son las transformaciones unitarias que uno puede realizar sin alterar los términos cinéticos de los fermiones. Se pueden usar para simplificar la parte de masa del lagrangiano. Sin embargo, a veces se abusa del término "simetría de sabor" para referirse en realidad a una simetría impuesta directamente a los términos de masa, antes de realizar rotaciones en el espacio de campo.

EDITAR para aclarar: la "simetría del sabor"

$$G^T M_\nu G = M_\nu$$ se impone a mano y es a priori independiente de la libertad de rotar los campos en el espacio de sabor. La relación entra en juego una vez que desea construir los estados propios de masa. Es sólo en ese paso que $G$se convierte en una libertad residual para transformar los estados propios de masa entre sí, sin perturbar la forma diagonal de la matriz de masa de Majorana.

También podría imponer algo de simetría en la matriz de Yukawa. La generalización adecuada de la ecuación anterior sería

$$G^{-1} Y G = Y.$$ La restricción a la transpuesta $G^T$en lugar de $G^{-1}$proviene de la simetría de la matriz de masas de Majorana, haciéndola diagonalizable con matrices ortogonales, para lo cual $G^T = G^{-1}$.