Simetría en programa para sumatoria de ewald

Este es un truco que se usa para ahorrar tiempo al hacer el cálculo real al aprovechar la simetría en el problema.

Tenga en cuenta que$k^2$es una función par (invariante bajo${\bf k}\to-{\bf k}$) y la norma de la transformada de Fourier de la función reticular$|S({\bf k})|^2$es también una función par ya que

$$S({\bf k}) = \sum_i q_i e^{i{\bf k}\cdot {\bf r_i}} \implies |S({\bf k})|^2 = \sum_{i,j} 2q_iq_j\cos({\bf k}\cdot({\bf r_i - r_j}))$$

y$\cos(x) = \cos(-x)$entonces todo el sumando es par. Por lo tanto, podemos reemplazar la suma sobre$k_x\in[-n,n]$en$\sum_{{\bf k}\not=0}g(k)|S({\bf k})|^2$por una suma superior$k_x>0$sumando un factor de$2$. Vea el ejemplo a continuación para ver cómo funciona esto.

Tenga en cuenta que no podemos aplicar este truco a todas las coordenadas (es decir, considere sólo$k_x,k_y,k_z\geq 0$y multiplicar por$8$) ya que los vectores con dos números negativos como$(-2,-3,5)$más la simetría${\bf k} \to -{\bf k}$no es suficiente para cubrir todos los puntos de cuadrícula que queremos sumar. Por eso solo lo aplican a una de las coordenadas$k_x$, sin embargo, puedes hacer lo mismo para$k_y$o$k_z$en lugar de$k_x$y obtener el mismo resultado.

También es libre de considerar todos$k_x\in[-n,n]$(y no multiplicar por$2$) si lo desea y esto le dará el mismo resultado, pero tomará el doble de tiempo para calcular.

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Un ejemplo sencillo. Considerar$n=1$entonces$k_x,k_y,k_z\in\{-1,1\}$. La suma sobre el$(n+1)^3 = 8$puntos de cuadrícula es

$$\matrix{\sum_{k_x,k_y,k_z\in\{-1,1\}} f({\bf k}) &=& f(-1,-1,-1) + f(1,1,1)\\ &+&f(-1,-1,1) + f(1,1,-1)\\ &+&f(-1,1,-1) + f(1,-1,1)\\ &+&f(-1,1,1) + f(1,-1,-1)\\}$$

Desde$f$incluso,$f({\bf k}) = f(-{\bf k})$, vemos que los dos términos en cada línea de arriba son iguales por lo que

$$\matrix{\sum_{k_x,k_y,k_z\in\{-1,1\}} f({\bf k}) &=& 2f(1,1,1)\\ &+&2f(1,1,-1)\\ &+&2f(1,-1,1)\\ &+&2f(1,-1,-1)\\&=& 2 \sum_{k_z,k_y,k_z\in\{-1,1\},~~k_x > 0} f({\bf k})}$$