Si los interarmónicos se definen para señales periódicas, ¿no son engañosos los interarmónicos?

Antes de explicar mi pregunta, supondré que 1) los interarmónicos, al igual que los armónicos, son sinusoides; y 2) para representar analíticamente los interarmónicos de una señal, los sumamos a la serie de Fourier. Esto fue discutido en esta pregunta anterior . Si alguna de estas suposiciones es incorrecta, por favor dígalo y preferiblemente comparta una fuente confiable. Si estas suposiciones son ciertas, entonces podemos expresar una señal periódica$x(t)$usando la forma amplitud-fase de la serie de Fourier, con$k$interarmónicos, de la siguiente manera (corríjame si me equivoco):

$x(t) = \underbrace{X_0 + \sqrt{2} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty X_{\text{rms,} n} \cos{(2 \pi n f_0 t + \theta_n)}}_{\text{DC component and infinite harmonics}} + \underbrace{\sqrt{2} \displaystyle \sum_{q=1}^k X_{\text{rms,} m_q} \cos{(2 \pi m_q f_0 t + \theta_{m_{q}})}}_{k \text{ interharmonics}} \tag 1$

donde todos los$m_q$son números racionales positivos no enteros. (Ejemplo breve para aclarar la notación anterior: una señal tiene$k=3$interarmónicos, donde$m_1 = 1.5$,$m_2 = 2.4$,$m_3 = 6.3$.)

Sin embargo, la suma de sinusoides de diferente frecuencia, cuyas frecuencias no son números irracionales, da como resultado una señal periódica , lo que significa que en la ecuación (1) ,$x(t)$es periódico. Y dado que la señal es periódica, podríamos calcular su serie de Fourier considerando los interarmónicos, de modo que al final no obtengamos interarmónicos (esto se ilustra en el siguiente ejemplo). En otras palabras, en la ecuación (1), los términos I ' han etiquetado como componente de CC y armónicos infinitos , no son realmente la serie de Fourier de$x(t)$. Por lo tanto, la frecuencia fundamental de$x(t)$ no es $f_0$como pensaríamos desde el primer resumen; por la misma razón, la primera suma no es realmente los armónicos de$x(t)$. Esto también se ilustra a continuación.

Un ejemplo

Considere una señal de diente de sierra$v(t)$de período$T_0 = 1 \text{ s}$, frecuencia$f_0 = 1/T_0 = 1 \text{ Hz}$y amplitud$A = 1 \text{ V}$, que empieza a subir en$t = 0 \text{ s}$:

$v(t) = \displaystyle \sum_{i=-\infty}^{\infty} v_{1}(t - i T_0) = \displaystyle \sum_{i=-\infty}^{\infty} v_{1}(t - 1i) \tag 2$

dónde

$v_1(t) = \left\{ \begin{aligned} \dfrac{A}{T_0} t &, \, 0 < t < T_0 \\ 0 &, \, \text{otherwise} \end{aligned} \right. = \left\{ \begin{aligned} t &, \, 0 < t < 1 \\ 0 &, \, \text{otherwise} \end{aligned} \right. \tag 3$

Se puede probar que su serie de Fourier es:

$v(t) = \dfrac{A}{2} + \dfrac{A}{\pi} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} \cos{(2 \pi n f_0 t + 90°)} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\pi} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} \cos{(2 \pi n 1 t + 90°)} \tag 4$

Obviamente, la frecuencia fundamental de$v(t)$en la ecuación (4) es 1 Hz. Esta aplicación de GeoGebra muestra tanto la señal original (en verde, dada por las ecuaciones (2) y (3) ) como su aproximación en serie de Fourier (en rojo, dada por la ecuación (4) ). Aquí hay una captura de pantalla:

Hasta ahora, todo bien. Ahora imagine que según alguien o un analizador de energía, otra señal periódica$v_3(t)$tiene los mismos armónicos que$v(t)$en la ecuación (4) , pero también tiene un interarmónico de frecuencia de 1,6 Hz (por lo tanto,$m_1 = (1.6 \text{ Hz})/(1 \text{ Hz}) = 1.6$), amplitud 1 V y cambio de fase de 0°. (Soy consciente de que los analizadores de potencia de la vida real muestrean una señal de tiempo continuo y solo muestran una cierta cantidad de armónicos, por ejemplo, 50 o 100, pero creo que esto es irrelevante en este contexto). Por lo tanto, según la segunda suposición Dije en el primer párrafo, podemos expresar$v_3(t)$como sigue:

$\begin{align} v_3(t) &= \dfrac{A}{2} + \dfrac{A}{\pi} \left[ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} \cos{(2 \pi n f_0 t + 90°)} \right] + \cos{(2 \pi 1.6 f_0 t)} \\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\pi} \left[ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} \cos{(2 \pi n 1 t + 90°)} \right] + \cos{(2 \pi 1.6 t)} \tag 5 \end{align}$

o en términos de$v(t)$,

$v_3(t) = v(t) + \cos{(2 \pi 1.6 t)} \tag 6$

Ahora bien, pensaríamos a primera vista que la frecuencia (fundamental) de$v_3(t)$fue de 1 Hz según los armónicos de la ecuación (5) . ¡Pero esto está mal! En la ecuación (6) , dado que el período (fundamental) de$v(t)$es 1 s, y el período de$\cos{(2 \pi 1.6 t)}$es 1/(1,6 Hz) = 5/8 s, la relación de estos períodos es un número racional. Por lo tanto, de acuerdo con este video , podemos calcular el período (fundamental)$T_0'$de$v_3(t)$como sigue:

$T_0' = \text{LCM} (1, \frac{5}{8}) = \dfrac{\text{LCM} (1, 5)}{\text{GCD} (1, 8)} = \dfrac{5}{1} = 5 \text{ s} \tag*{}$

La siguiente captura de pantalla lo demuestra, tomada de esta aplicación de GeoGebra , donde$v(t)$se muestra en verde (dado por las ecuaciones (2) y (3) ),$\cos{(2 \pi 1.6 t)}$en naranja, y$v_3(t)$en morado (dado por la ecuación (6) .)

Por lo tanto, los armónicos de$v_3(t)$ no son en realidad los dados en la ecuación (5) , porque la frecuencia fundamental de$v_3(t)$no es 1 Hz, sino$f_0' = 1/T_0' = 1/(5 \text{ s}) = 0.2 \text{ Hz}$. Para encontrar los armónicos reales de$v_3(t)$, podemos usar la ecuación (6) y sustituir$v(t)$por las ecuaciones (2) y (3) . Ahora encontramos los coeficientes de Fourier de esa expresión. Después de algunas matemáticas , el resultado sería

$v_3(t) = \dfrac{1}{2} + \cos{\left(2 \pi 1.6 t \right)} - \dfrac{1}{\pi} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1 + \cos{(\frac{2 \pi n}{5})} + \cos{(\frac{4 \pi n}{5})} + \cos{(\frac{6 \pi n}{5})} + \cos{(\frac{8 \pi n}{5})}}{n} \sin{\left(\dfrac{2 \pi n}{5} t \right)} \tag 7$

La siguiente imagen prueba la expresión anterior, donde la señal original$v_3(t)$se muestra en azul (dado por las ecuaciones (6) , (2) y (3) ) y su aproximación en serie de Fourier en amarillo (dado por la ecuación (7) ):

Si bien ambas ecuaciones (5) y (7) representan correctamente$v_3(t)$, el primero es engañoso por las razones que expliqué en el párrafo anterior. Además, observe que inicialmente pensamos$v_3(t)$tenía un interarmónico de 1.6 Hz según la ecuación (5) , sin embargo, en la ecuación (7) no hay interarmónicos. Entonces, si las suposiciones dichas en el primer párrafo son verdaderas, entonces los interarmónicos son engañosos (si piensa lo contrario, explique por qué). Y esto me hace preguntarme por qué están definidos por IEEE e IEC.