Si la función de visibilidad es la transformada de Fourier de la distribución del brillo del cielo, ¿por qué necesita el haz sucio y la imagen sucia para encontrarla?

Tendría toda la razón en que se necesitaría una sola transformada de Fourier si el interferómetro pudiera muestrear todo el$(u,v)$avión. Desafortunadamente, ese no es el caso; solo tenemos un número finito y bastante pequeño de platos y una cantidad finita de tiempo. La cobertura del avión aumentará a medida que pase el tiempo y la Tierra gire, pero será imperfecta. Por lo tanto, no observamos la verdadera función de visibilidad,$V(u,v)$, sino la función de visibilidad multiplicada por la función de muestreo$S(u,v)$:

$$V_{\text{measured}}(u,v)=S(u,v)V(u,v)$$ dónde$S(u,v)$es 1 si el punto$(u,v)$se muestrea y 0 en caso contrario. Por lo tanto, si transformamos con Fourier esta cantidad en espacio imagen, no obtendremos la imagen verdadera.$I(x,y)$sino otra cantidad$I^{D}(x,y)$, que es lo que llamamos la imagen sucia. También podemos escribir esto como una convolución: $$I^D(x,y)=B(x,y)*I(x,y)$$ dónde$B(x,y)$es el haz sucio, la transformada inversa de Fourier de$S(u,v)$, y$I(x,y)$es el verdadero brillo del cielo.$^{\dagger}$

En resumen: si pudiéramos probar la$(u,v)$avión perfectamente, lo que significa que$S(u,v)=1$en todas partes en el$(u,v)$avión - entonces esto no sería un problema. Pero nuestra cobertura siempre será incompleta, por lo que debemos tener en cuenta la función de muestreo y el haz sucio, y luego usar un algoritmo como CLEAN para realizar una deconvolución en$I^D(x,y)$y tratar de recuperar$I(x,y)$lo mejor que podamos.

Esta charla de ALMA analiza todo lo que he dicho anteriormente y presenta algunos ejemplos, así como los métodos de ponderación de imágenes y CLEAN.

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$^{\dagger}$Nota menor: En el caso imposible (pero ideal) donde muestreamos todo el$(u,v)$plano, el haz sucio debe ser una función delta bidimensional, ya que$S(u,v)=1$y la transformada de Fourier de una función delta da 1. Entonces, dado que la convolución de cualquier función con una función delta da como resultado la función original, tenemos que

$$I^D(x,y)=\delta(x,y)*I(x,y)=I(x,y)$$ como cabría esperar; el muestreo perfecto significa que la imagen sucia es la misma que la imagen del cielo real.