¿Se puede interpretar el corrimiento al rojo del Hubble como una dilatación del tiempo?

El espacio-tiempo de De Sitter es máximamente simétrico y, por lo tanto, al tener un conjunto completo de campos vectoriales Killing, debe tener una forma estática producida por un campo vectorial Killing similar al tiempo. Una forma de obtener sin preocuparse por las transformaciones de coordenadas es tomar la$M\to 0$límite de la solución lambdavacuum esféricamente simétrica general, que es el espacio-tiempo de Schwarzschild-de Sitter:

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{1}{3}\Lambda r^2\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1-\frac{1}{3}\Lambda r^2\right)^{-1}\mathrm{d}r^2 + r^2\,\mathrm{d}\Omega^2\text{,}$$ donde $\mathrm{d}\Omega^2 = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta\,\mathrm{d}\phi^2$es la unidad habitual $2$-esfera. Excepto por pequeñas diferencias de notación, esto también es idéntico al corte estático de De Sitter presentado aquí en términos de diferentes cortes de un hiperboloide en Minwkoski $\mathrm{E}^{1,4}$, con $\alpha\equiv\sqrt{3/\Lambda}$.

En estas coordenadas, el Killing field similar al tiempo es simplemente$\partial_t$, que corresponde a una familia de observadores estáticos con dilatación temporal relativa al observador estático en el origen dada por

$$\dot{t}\equiv\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} = \frac{1}{1-r^2/\alpha^2}\text{,}$$ que diverge como $r\to\alpha$.

Para las geodésicas , el campo de la muerte también genera una energía específica conservada$\epsilon = \left(1-r^2/\alpha^2\right)\dot{t}$, lo que hace que la resolución de geodésicas radiales no sea difícil. Lo interesante de ellos es que toman una cantidad infinita de tiempo coordinado$t$alcanzar$r=\alpha$, pero solo una cantidad finita de tiempo propio$\tau$, y no tienen ningún problema en continuar más allá. Además, la dilatación del tiempo para los observadores estáticos se vuelve infinita allí. Este comportamiento es análogo al horizonte de eventos de un agujero negro, excepto que la ubicación del horizonte de De Sitter depende de la elección del origen.

¿Se puede interpretar el corrimiento al rojo del Hubble como una dilatación del tiempo?

Sí. Si lo deseamos, podemos pensar en el corrimiento hacia el rojo debido a una partícula (p. ej., una galaxia) en alguna coordenada radial como una combinación de dos cosas: la dilatación temporal relativista especial de una galaxia con respecto a un observador estático local y el tiempo gravitacional dilatación entre observadores estáticos dada anteriormente. De hecho, el$\epsilon$El parámetro anterior es exactamente la energía (por masa) de la partícula medida por un observador estático local, es decir, la gamma de Lorentz relativa.