¿Se conserva la energía mecánica total en un sistema que es una aproximación simplificada de una montaña rusa real?

Suponga que tiene un espacio euclidiano bidimensional donde una dimensión va de izquierda a derecha y la otra dimensión sube y baja donde una de las unidades de longitud es el metro. Además, supongamos que también hay una dimensión de tiempo y una de las unidades de tiempo es el segundo, y hay un campo gravitacional que tira hacia abajo con aceleración.$g$. Además, supongamos que la altura es absoluta. Además, supongamos que hay una línea en ese plano que no cambia con el tiempo cuya dirección es continua con la posición en la línea y va en una dirección a lo largo de la línea, la componente de tu velocidad hacia la derecha siempre será no negativa. Ahora podemos definir la velocidad a lo largo de la línea para cualquier movimiento diferencial continuo en la línea. Ahora supongamos también que hay un punto confinado a esa línea de cierta masa positiva$m$que sigue la física newtoniana y ese punto siempre tiene solo 2 fuerzas actuando sobre él, una disminuyendo con magnitud$mg$y uno que actúa perpendicularmente a la parte de la vía en la que se encuentra. Eso tiene sentido solo cuando la dirección de la línea es diferencial y mucho menos continua en ese punto. Cuando ese es el caso, podemos demostrar que su aceleración a lo largo de la pista es$-g\sin\theta$dónde$\theta$es el ángulo de la dirección de la pista por encima de la horizontal, por lo que$\theta$es positivo en las partes que suben y negativo en las partes que bajan y está confinado entre$\frac{\pi}{2}$y$\frac{-\pi}{2}$.

En cambio, eliminemos el criterio de que la pendiente de la línea es diferenciable y solo requiera que sea continua y reemplacemos el criterio de la fuerza gravitacional y la fuerza normal que no se pueden definir satisfaciendo esas propiedades con el criterio simplemente de que su aceleración a lo largo de la pista es$-g\sin\theta$. Defino la aceleración a lo largo de la pista como la segunda derivada con el tiempo de qué tan lejos está el punto a lo largo de la línea. Me doy cuenta de que aunque eso siempre está definido, la aceleración real del punto, la derivada de su velocidad con respecto al tiempo, podría no estar definida en algunos momentos. Definamos su energía potencial como$mgh$y su energía cinética como$\frac{mv^2}{2}$. Definamos su energía mecánica total como su energía potencial más su energía cinética. Mi pregunta es

¿Podemos demostrar que su energía mecánica total siempre se conserva?