¿Representación tipo Majorana para estados simétricos mixtos?

Una generalización de la representación de Majorana a$N+1$matrices de densidad dimensional se pueden realizar de la siguiente manera: (Por una generalización entiendo una representación de la matriz de densidad por medio de un cierto número de puntos en la esfera de Bloch (no necesariamente independientes) + un vector de polarización perteneciente a la$N+1$probabilidad dimensional simplex)

Primero consideraré el caso genérico (valores propios libres de multiplicidad) descrito en la pregunta para completar. Cada$N+1$matriz dimensional se puede escribir como:

$\rho = \sum_{i=0}^{N}p_i\theta_i$

dónde$p$es el vector de valores propios$p\in \Delta^n$(la probabilidad simplex en$\mathbb{R}^{n+1}$) y$\theta_i$son los proyectores unidimensionales en los vectores propios:

$\theta_i^2=\theta_i$

satisfaciendo las restricciones de ortonormalidad.

$tr(\theta_i\theta_j)=\delta_{ij}$

La representación de Majorana

$\mathrm{Sym}^N(\mathbb{C}P^1) \approx \mathbb{C}P^N$

permite expresar el primer proyector en términos de$N$puntos en la esfera de Bloch, y el segundo en términos de$N-1$puntos porque las restricciones de ortonormalidad y el tercero en términos de$N-2$puntos etc

Recuento de dimensiones

$2 \times (0+1+ . . .+N) + N =(N+1)^2-1$

El caso de un valor propio de multiplicidad$1<M<N$

En este caso, el proyector en el espacio propio de degeneración es de dimensión mayor que 1. La órbita de estos proyectores es la Grassmanniana.$Gr(M,N)$.

Para realizar una representación de Majorana de este proyector, primero incrustamos el Grassmannian en un espacio proyectivo complejo por medio de una incrustación de Plucker :

$Gr(M,N) \rightarrow \mathbb{C}P^{{N \choose M}-1}$

y luego realizar el mapa de Majorana.

Ahora, tanto el mapa de Majorana como la incrustación de Plucker se conocen explícitamente, lo que hace posible toda la construcción. En los casos degenerados, el recuento de dimensiones es menor que el del espacio de todas las matrices de densidad.

Actualizar:

Esta actualización está destinada a proporcionar una respuesta parcial al comentario de Piotr.

Observación: Debería haber comentado que el material sobre la clasificación de las órbitas de la matriz de densidad según su degeneración de valores propios en esta respuesta se basa en Geometría de estados cuánticos de Bengtsson y Życzkowski (principalmente en el capítulo 8)

El caso del grassmanniano$Gr(M,N)$(que es la órbita unitaria de$N$matrices de densidad dimensional con dos valores propios distintos, uno de los de multiplicidad $M

el rígido$SU(2)$que actúa sobre los qubits de la representación Majorana de$\mathbb{C}P^{{N \choose M}-1}$es un subgrupo del grupo de isometría$SU({N \choose M})$del espacio proyectivo complejo. No se debe esperar a priori que sea un subgrupo del grupo de isometría$SU(N)$del grassmanniano. Sin embargo, revisé el caso más simple.$Gr(2,4) \rightarrow \mathbb{C}P^5$. Este Grassmanniano viene dado por la relación de Plucker dada por la cuádrica$w \wedge w = 0$en las coordenadas homogéneas$w = \sum_{i=j=1, i< j}^4w_{ij} e_i\wedge e_j$de$\mathbb{C}P^5$, ($e_i$formar una base de$\mathbb{C}^4$). Después de la identificación de las coordenadas homogéneas$w$con las coordenadas homogéneas de la representación Majorana tal que tanto en la acción del$SU(2)$generador$\sigma_3$es diagonal, resultó que la relación de Plucker es invariante bajo todo el$SU(2)$acción. En otras palabras, existe un$SU(4)$transformación$U$tal que esta acción puede implementarse como:$U^{-1} \theta U$, dónde$\theta$es el proyector en el espacio de degeneración bidimensional de la matriz de densidad. Este resultado es nuevo (y muy interesante) para mí y no tengo una comprensión profunda de su razón. Espero que se generalice a todos los casos.

El caso genérico de valores propios distintos:

En este caso, la órbita de los estados cuánticos es la variedad bandera.$Fl(N)$. En este caso hay$N-1$distintas esferas de Bloch correspondientes a la jerarquía de vectores propios como se indica en la respuesta principal. Una rígida$SU(2)$acción sobre los qubits de la representación de Majorana de cada uno de los$n$-th autovector se realiza como un espín$\frac{N-n+1}{2}$representación en el subespacio ortogonal a los valores propios superiores en jerarquía. Además, habrá una acción correspondiente en todos los vectores propios de menor jerarquía. Creo que para sentirse cómodo con la construcción, uno puede resolver explícitamente el caso tridimensional con la variedad de banderas.$Fl(3)$expresado como un$\mathbb{C}P^1$agruparse$\mathbb{C}P^2$