Imagine un bucle de alambre circular (r = 50 mm), el alambre tiene un diámetro supuesto de cero, que está incrustado en un núcleo de hierro en forma de toro con una sección transversal circular de R = 10 mm.

Una corriente en ese bucle provocaría un campo magnético circular alrededor del cable. ¿Hay alguna posibilidad de calcular la reluctancia de ese núcleo?

Estoy buscando una solución desde hace semanas, sin ningún éxito. Se desea una solución para las corrientes armónicas, pero incluso estaría feliz por una solución de CC.

---

CONTEXTO

para explicar de qué se trata todo esto.

Mi geometría real se ve de la siguiente manera:

Una bobina toroidal rodeada por un núcleo con una sección transversal de un rectángulo redondeado. Así que me interesa la reticencia de la parte grisácea (y las otras esquinas). Si junta todas las esquinas, obtendrá el toro mencionado. Las líneas verdes son el flujo magnético, el rectángulo en el medio la bobina toroidal.

Para altas frecuencias y/o materiales altamente conductivos y/o altamente permeables, la influencia de las esquinas es insignificante, en mi caso lamentablemente no.

Supongo que no hay una solución analítica, pero cualquier idea que pueda acercarme a ella ayudaría.

¡Gracias!

---

---

Intento de solución

Prefacio

Si se quiere calcular la permeancia$P$de una barra rectangular:

es una tarea fácil:

$$P = \frac{\mu a b}{L} ~~~~ \rightarrow ~~~~ P\propto ab ~~~~and~~~~ P\propto\frac{1}{L}$$

dónde$\mu$es la constante material. (Permeabilidad)

Pero mi geometría es un toro con solo un cuarto de su sección transversal circular y el campo$V$ lo atraviesa paralelo a la circunferencia de la sección transversal (completa):

¿Cómo puedo calcular la permeancia de esta geometría, cuando existen las mismas relaciones proporcionales que las anteriores?

---

Intento de solución

Divido mi geometría en$N$toros huecos con espesor de pared constante$\Delta R$y elemento de longitud media$\Delta L$, por lo que el campo pasa por un área de$\Delta A$:

Un pedacito del radio$R$es$\Delta R = \frac{R}{N}$. Ahora se puede calcular:

$$\Delta P_{n} = \frac{\mu \Delta A_n}{\Delta L_n}$$

con

$$\Delta A_n = \pi \bigg( (r+(n+1) \Delta R)^2-(r+n \Delta R)^2\bigg)$$ (Considere la circunferencia del toro completo, no solo un cuarto como se muestra)

y

$$\Delta L_n = \frac{\pi}{2} (2n+1) \frac{\Delta R}{2}$$ (¡pero un cuarto de sección transversal!)

sigue:

$$P = \sum^{N-1}_{n=0} \Delta P_{n} = \mu\sum^{N-1}_{n=0} \frac{\pi(2r\Delta R+(2n+1)(\Delta R)^2)}{\frac{\pi}{2}(2n+1)(\frac{\Delta R}{2})}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

$$= 4\mu\sum^{N-1}_{n=0} \frac{2r\Delta R+(2n+1)(\Delta R)^2}{(2n+1)(\Delta R)}$$

$$= 4\mu\sum^{N-1}_{n=0} \Bigg( \frac{2r}{(2n+1)} + \Delta R \Bigg)~~~~~~~~~~$$

$$= 4\mu \Bigg( R + 2r \sum^{N-1}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)} \Bigg)~~~~~~~~~~$$

Y esta serie no converge para$N\rightarrow\infty$. Lo que no se ve físicamente es posible, por lo que debe haber un problema con las matemáticas. ¿Ves lo que me estoy perdiendo?