Relación entre temperatura y energía

En lo que respecta al análisis dimensional, la temperatura y la energía son dimensiones físicas separadas e independientes.

Sin embargo, existe una forma más o menos única de traducir temperaturas en energías y viceversa, que es mediante la constante de Boltzmann.

$$k_\text{B}=1.380×10^{−23}\:\text{J}/\text K.$$

Cualquier temperatura dada$T$tiene una energía característica asociada$k_\text{B}T$en el que normalmente se produce la dinámica del sistema. Así, para un gas monoatómico a temperatura$T$, la energía promedio de cada átomo es$\tfrac32k_\text{B}T$. Este es un caso particular del teorema de equipartición , que establece que cada grado de libertad que contribuye 'cuadráticamente' a la energía total del sistema, como el$x$componente de la velocidad de un solo átomo de gas, tiene energía promedio$\tfrac12k_\text{B}T$.

De manera similar, si tienes una energía dada$E$puedes preguntar por su equivalente en temperatura, que es la temperatura$T$tal que$E=k_\text{B}T$. Es principalmente en este sentido, por ejemplo, que deben entenderse afirmaciones como "las colisiones en el LHC generarán temperaturas más de 100.000 veces más calientes que el corazón del Sol". Este uso está justificado ya que, a esas temperaturas, la mayoría de los grados de libertad tendrán energías de ese orden.

Tenga en cuenta, sin embargo, que a pesar de esta estrecha relación, la energía y la temperatura son fundamentalmente diferentes. Es incorrecto afirmar algo como "la temperatura es una medida de la energía cinética promedio en un sistema", lo cual se ve muy a menudo en los libros de texto de divulgación científica y de secundaria. En cambio, la definición fundamental de temperatura es

$$\frac1T=\frac{\partial S}{\partial U},$$ dónde $S$es la entropía del sistema , $U$es su energía interna, y lo gracioso $\partial$los símbolos denotan una derivada (parcial).

La cantidad de la derecha es esencialmente la cantidad extra de entropía$\Delta S$que obtendrás agregando un poco más de energía$\Delta U$al sistema, o en otras palabras, cuántos estados más del sistema estarán disponibles con un poco más de energía. Esto es inversamente proporcional a la temperatura: para una cantidad fija de energía$\Delta U$, un sistema 'caliente' tendrá menos estados adicionales disponibles que uno 'frío'.

(Dicho sea de paso, esta es la razón por la que el calor fluye de los sistemas calientes a los fríos: la naturaleza intenta maximizar la entropía, tener tanto "espacio de juego" como pueda, y pasar un poco de energía de un sistema caliente a un sistema frío disminuye el número de estados disponibles para el sistema caliente por un poco y aumenta los del sistema frío por más que eso.)

La razón por la que este concepto está tan estrechamente relacionado con la energía es que la energía suele ser una función convexa de las coordenadas del sistema y, en particular, de sus velocidades. Esto significa que agregar una velocidad adicional fija$\Delta v$le dará más energía extra a energías más altas que a las más bajas; de manera equivalente, una cantidad fija de energía adicional le dará un mayor aumento de velocidad a velocidades bajas que a velocidades altas.

Da la casualidad de que el "número de estados" del sistema está más o menos dado por el rango de velocidades (y posiciones) que puede ocupar, de modo que$\Delta S\sim\Delta v$. Esto significa que, a grandes rasgos,$T\approx\Delta U/\Delta v$y rodajas más finas de$\delta v$significa sistemas más calientes.

Aún mejor, en muchos sistemas la energía no es solo una función convexa, sino que en realidad es cuadrática, y el ejemplo paradigmático es$E=\tfrac12 mv^2$. Para una dependencia cuadrática, al derivar se obtiene que

$$\frac{dE}{dv}=mv,$$ o equivalente $\Delta E= mv\Delta v$. Debe tener cuidado con la forma en que cuenta las cosas, pero una vez que hace el cálculo resulta que, en el caso cuadrático, la temperatura como se definió anteriormente es en realidad proporcional a la energía promedio (en lugar de una función creciente de ella). Este cuidadoso cálculo es, por supuesto, la prueba del teorema de equipartición.