Regla nata para fotones: funciona, ¿pero no debería?

No tengo una buena referencia para esto, así que traté de resolverlo yo mismo. Mi análisis tiene algunos cabos sueltos, pero al menos sugiere una respuesta plausible a la pregunta.

Aclaración sobre la regla de Born

La versión general de la regla de Born se refiere a observables y estados. Se aplica a todo, desde QFT relativista hasta QM de una sola partícula no relativista. No se refiere a una función de onda de una sola partícula. En el caso especial de una medición de posición en QM de una sola partícula no relativista, la regla de Born se puede expresar en términos de la función de onda de una sola partícula, pero ese caso especial de la regla de Born (que es el caso al que se hace referencia en la pregunta) no t se aplica en QFT relativista. El argumento de Peierls es una forma de ver por qué no es así.

La siguiente respuesta calcula los valores esperados de algunos observables en QFT relativista. Los valores esperados se definen utilizando la versión general de la regla de Born. Eso es todo lo que necesitamos. Tratar de idear una función de onda de un solo fotón que haga que la teoría más profunda (QFT relativista) parezca una de sus propias aproximaciones limitadas (QM de una sola partícula no relativista) no es necesario, y no necesitamos jugar con las suposiciones de Teoría cuántica. Sin embargo, el OP está haciendo una buena pregunta, y se puede reformular así:

• ¿Por qué el cuadrado del campo EM, tratado como un campo clásico, parece ser un buen predictor de la distribución espacial de las detecciones de fotones?

Dos resultados negativos, no solo uno

El argumento de Peierls no es el único argumento en contra de tratar a los fotones como partículas estrictamente localizadas. Dentro del contexto de la teoría cuántica de campos relativista (QFT), tenemos otro teorema que descarta tal posibilidad. Este es el teorema de Reeh-Schlieder , cuyas implicaciones se revisan en mi respuesta a

¿Cuál es el significado físico de la afirmación de que "los fotones no tienen posiciones"?

QFT relativista ha resistido la prueba del tiempo como una base confiable para describir todos los fenómenos conocidos a escala de laboratorio, incluido este del OP:

Podemos observar la difracción de doble rendija con fotones, con luz de tan baja intensidad que solo un fotón está en vuelo a la vez. En un CCD sensible, cada fotón se observa exactamente en un píxel. ...si se golpea el píxel A, se garantiza que el píxel B no será golpeado.

¿Cómo puede este fenómeno ser consistente con el argumento de no-go de Peierls, o con el teorema de Reeh-Schlieder? Debe ser consistente, pero ¿cómo?

Acercarse

Para abordar estas preguntas utilizando la teoría cuántica, primero debemos expresarlas en términos de observables . Para hacer eso, nos gustaría saber qué observable mide un detector de fotones realista, como un píxel en una cámara CCD. ¿Cómo sabemos qué observable usar? En principio, podríamos descubrir el observable correcto usando un modelo como QED (incluso QED no relativista) para estudiar la dinámica del detector como un dispositivo físico, pero eso es muy difícil.

Tomaré un enfoque diferente. Usaré un modelo en el que todo se puede calcular exactamente, a saber, QED relativista sin materia, solo el campo EM cuántico por sí mismo. Llamaré a este modelo QEM. Este modelo no puede describir el proceso físico de medición (que involucra materia), por lo que no podemos usarlo para determinar qué observable es el correcto , pero podemos considerar algunos observables candidatos . Entonces podemos preguntarnos si estos observables se comportan lo suficiente como detectores de fotones localizados para explicar el comportamiento de un sensor CCD.

requisitos previos

Aquí hay un resumen rápido de QEM. Todos sus observables se pueden expresar en términos de los operadores de campo eléctrico y magnético.$E_j(\vec x,t)$y$B_j(\vec x,t)$con$j\in\{1,2,3\}$. El único conmutador de tiempo igual distinto de cero es

$$[E_j(\vec x,t),\,B_k(\vec y,t)]\propto i\partial_\ell\delta^3(\vec x-\vec y) \tag{1}$$ cuando$j,k,\ell$son todos distintos. Las ecuaciones de movimiento son simplemente las ecuaciones habituales de Maxwell. Eso completa la definición del modelo, excepto por los tecnicismos sobre el significado matemático de los operadores de campo en un punto, que podrían manejarse tratando el espacio como una red muy fina.

Aquí hay una revisión rápida de cómo se definen los fotones en QEM: el hamiltoniano$H$, el generador de traslaciones temporales, se puede diagonalizar escribiéndolo en términos de operadores de creación y aniquilación, uno por vector de onda y polarización. Para cualquier vector de onda dado, el espectro de$H$es discreto: cada aplicación del operador de creación agrega un cuanto de energía al estado, y cada aplicación del operador de aniquilación elimina un cuanto de energía. Estos cuantos de energía son lo que llamamos fotones. El estado de vacío, que es aniquilado por los operadores de aniquilación, es el estado con menor energía. No tiene fotones por definición.

Operadores de creación/aniquilación no del todo locales

Un fotón es un cuanto de energía, no necesariamente una entidad localizada . Esto queda claro a partir de experimentos en los que se acumula un patrón de difracción de un fotón a la vez. ¿Hasta qué punto se puede localizar un fotón antes de su detección?

Dejar$F_n(\vec x,t)$denota cualquier componente de un operador de campo eléctrico o magnético. Podemos escribir

$$F_n(\vec x,t)=F_n^+(\vec x,t)+F_n^-(\vec x,t) \tag{2a}$$ dónde$F_n^+$es la parte que involucra operadores de creación y$F_n^-$es la parte que involucra a los operadores de aniquilación. Estos son los adjuntos de cada uno.

Los operadores de campo originales son observables locales, pero los operadores$F_n^\pm(\vec x,t)$no son locales. Un síntoma de esto es que el conmutador de$F_n^\pm(\vec x,t)$con$F_m(\vec y,t)$no es cero cuando$x\neq y$. Sin embargo, el conmutador se cae como una potencia de$|\vec x-\vec y|$, específicamente

$$\left[F_n^\pm(\vec x,t),\,F_m(\vec y,t)\right] \sim \frac{1}{|\vec x-\vec y|^4}. \tag{2b}$$ Esta caída rápida sugiere que a una resolución suficientemente gruesa, los operadores de creación/aniquilación de un solo fotón$F_n^\pm(\vec x,t)$también podría ser local.

Dos observables candidatos

Como promete el teorema de Reeh-Schlieder, la relación entre los operadores de campo y los operadores de creación/aniquilación no es estrictamente local. Un observable localizado en una región estrictamente delimitada del espacio no puede aniquilar el estado de vacío. Con eso en mente, considere estos dos candidatos complementarios para el observable correspondiente a un píxel en una cámara CCD:

• Observable n. ° 1: como se sugiere en el OP, comience con el campo cuadrado

  $$H_n(\vec x,t)\propto F_n^2(\vec x,t)+\text{constant}. \tag{3}$$ El operador (3) representa la densidad de energía en la componente dada del campo, porque$H=\sum_n\int d^3x\ H_n(\vec x,t)$es el hamiltoniano, el observable que representa la energía total del sistema. Para tratar de representar la sensibilidad de un píxel CCD de tamaño finito, podemos considerar el observable $$H(\beta,t) := \sum_n\int d^3x\ \beta_n(\vec x)H_n(\vec x,t) \tag{4}$$ con alguna función de manchado de valor real$\beta_n(\vec x)$que es distinto de cero solo dentro del elemento CCD. Este observable está contenido dentro de esa región del espacio, porque los operadores de campo$F_n(\vec x,t)$son observables locales. Después de elegir el término constante para que el estado de vacío tenga energía total cero, el valor esperado de vacío de$H(\beta,t)$también es cero. Sin embargo,$H(\beta,t)$no aniquila el estado de vacío. El teorema de Reeh-Schlieder nos advirtió sobre esto, y podemos verlo explícitamente escribiendo$H(\beta,t)$en términos de operadores de creación/aniquilación. El valor esperado de$H(\beta,t)$en algunos estados puede ser negativo (gracias al término constante en (3)), por lo que también cumple con el argumento de Peierls.

• Observable #2: El observable

  $$C(\beta,t) := \sum_n\int d^3x\ \beta_n(\vec x)F_n^+(\vec x,t)F_n^-(\vec x,t) \tag{5}$$ es estrictamente positiva y aniquila el estado de vacío, pero no está localizada en ninguna región estrictamente acotada, incluso si la función$\beta_n(\vec x)$es. Esto es nuevamente consistente con el argumento de Peierls y con el teorema de Reeh-Schlieder. Como operador en el espacio de Hilbert, el observable (5) no cambia el número de fotones en el estado. En un estado de un solo fotón, una medición de este observable nunca dará como resultado más de un fotón detectado: "si se golpea el píxel A, se garantiza que el píxel B no será golpeado". elegí la letra$C$para este observable porque "cuenta" con precisión los fotones.

Valores esperados en un estado coherente

Ahora tenemos dos candidatos para observables que podrían representar el comportamiento de un píxel en un sensor CCD, y se complementan entre sí: el observable de campo cuadrado (4) está localizado en una región estrictamente delimitada, y el observable (5) es estrictamente positivo y aniquila el estado de vacío. Dado que QEM no tiene interacciones, no puede decirnos cuál (si es que alguno) de estos dos observables es el mejor para representar el comportamiento de un píxel CCD, pero tal vez realmente no importe. Tal vez ambos observables estén lo suficientemente cerca para todos los propósitos prácticos.

Para explorar esto, considere los valores esperados de estos observables en un estado coherente

$$|\alpha\rangle\propto\exp\left( i\sum_n\int d^3x\ \alpha_n(\vec x) F_n(\vec x,t)\right)|0\rangle, \tag{6}$$ dónde$|0\rangle$es el estado de vacío y la función$\alpha$es de valor real. Ahora considere un operador de campo$F_n$, esparcido sobre una pequeña región para tener en cuenta la resolución finita (y para evitar problemas matemáticos). En tal estado,

• El valor esperado del operador de campo manchado es proporcional a la magnitud total de$\alpha$.

• La varianza del mismo operador de campo difuminado es independiente de$\alpha$.

Como resultado, para un tamaño suficientemente grande$|\alpha|$, el estado se aproxima a un campo EM clásico. ¿Qué tan grande debe$|\alpha|$¿ser? Depende de la función de untar. Cuanto más parecida a un punto sea la función de manchado, mayor$|\alpha|$debe ser.

Esto sugiere que el valor esperado del observable de campo cuadrado (4) se puede aproximar tratando el campo de forma clásica, como se indica en el OP, siempre que el campo no varíe demasiado rápido en el espacio (en otras palabras, esté lo suficientemente borroso). ). Para pequeños$|\alpha|$, la$\geq 2$-Los términos de fotones en el estado coherente son despreciables. El valor esperado ya no es grande en comparación con la varianza, pero la distribución espacial sigue siendo la misma. Esta es la razón por la cual la distribución espacial de las detecciones de fotones es la misma ya sea que se forme usando luz brillante o acumulando un fotón a la vez.

Para calcular los valores esperados en este estado, la identidad clave es

$$F_n^-(\vec x,t)|\alpha\rangle =\alpha_n'(\vec x)|\alpha\rangle, \tag{7}$$ con $$\alpha_n'(\vec x) := i\sum_m\int d^3y\ \alpha_m(\vec y)\left[F_n^-(\vec x,t),\,F_m^+(\vec y,t)\right]. \tag{8a}$$ El conmutador (8a) es proporcional al operador identidad, por lo que es una función ordinaria. Las definiciones de$\alpha_n'$y$F^\pm$implicar $$\alpha_n'(\vec x) +\text{c.c.}:= i\sum_m\int d^3y\ \alpha_m(\vec y)\left[F_n(\vec x,t),\,F_m(\vec y,t)\right] \tag{8b}$$ ("cc" significa conjugado complejo), donde ahora el conmutador involucra a los operadores de campo locales originales. Usando la identidad (7), los valores esperados del observable (4) son $$\langle\alpha|H(\beta,t)|\alpha\rangle \propto \sum_n\int d^3x\ \big(\alpha_n'(\vec x)+\text{c.c.}\big)^2\beta_n(\vec x), \tag{9}$$ y el valor esperado de (5) es $$\langle\alpha|C(\beta,t)|\alpha\rangle \propto \sum_n\int d^3x\ \big|\alpha_n'(\vec x)\big|^2\beta_n(\vec x). \tag{10}$$ No son iguales entre sí, pero son similares. Ambos dependen de la superposición entre las funciones.$\alpha'$y$\beta$, y la función$\alpha'$a su vez está relacionado con el campo EM "clásico" así: $$\langle\alpha|F_n(\vec x,t)|\alpha\rangle =\alpha'_n(\vec x)+\text{c.c.}. \tag{11}$$ Esto muestra que (9) es esencialmente el cuadrado del campo EM "clásico" (11), manchado sobre el píxel CCD. Además, las ecuaciones (1) y (8b) muestran que la relación entre este campo EM "clásico" y la función$\alpha$en (6) es estrictamente local.

Conclusión provisional

El argumento de no ir de Peierls y el teorema de Reeh-Schlieder dicen que la idea de fotones estrictamente localizados es demasiado ingenua. Aún así, la estrecha similitud entre el valor esperado del observable de campo cuadrado y el observable de conteo de fotones, ecuaciones (9) y (10), sugiere que el cuadrado del campo EM "clásico" puede ser un buen predictor de la espacial. distribución de detecciones de fotones para la mayoría de los propósitos prácticos.

Estos resultados se derivaron utilizando QFT relativista, con la versión general de la regla de Born, y no fue necesario modificar los principios de la teoría cuántica.

Cabos sueltos

La superposición entre$\alpha'$y$\beta$en las ecuaciones (9)-(10) es una versión algo deslocalizada de la superposición entre$\alpha$y$\beta$, donde "algo deslocalizado" se cuantifica mediante las ecuaciones (2b) y (8a). ¿Este grado de deslocalización es consistente con el patrón de difracción registrado por una cámara CCD real? Si consideramos un estado que involucra solo fotones con longitudes de onda$\gtrsim\lambda$, entonces el patrón de difracción acumulativo tenderá a tener solo características de tamaño$\gtrsim\lambda$, por lo que se espera que el patrón esté algo deslocalizado de todos modos. Sin embargo, sería bueno un análisis más cuidadoso de este punto. Este es un cabo suelto.

Este análisis consideró solo el campo EM cuántico libre . Un modelo tan trivial no puede describir la dinámica del proceso de detección, por lo que no puede decirnos qué observable es el correcto para usar. Traté de compensar esto considerando dos observables candidatos diferentes, pero aún así: este es otro cabo suelto.

¿Qué pasa con la idea de Newton-Wigner?

El papel

• Newton y Wigner (1949), "Estados localizados para sistemas elementales", https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.21.400

fue un intento temprano de formalizar un concepto de localidad en la teoría cuántica relativista. Está limitado a partículas con espín.$\leq 1/2$(que excluye los fotones), y también tiene otras limitaciones. Los intentos más recientes de extender la idea de Newton-Wigner se analizaron en

• Halvorson (2018), "Reeh-Schlieder derrota a Newton-Wigner: sobre esquemas de localización alternativos en la teoría del campo cuántico relativista", https://arxiv.org/abs/quant-ph/0007060

lo que concluye que los observables que son "locales" en el sentido de Newton-Wigner no son locales en el sentido de QFT, porque no conmutan entre sí en una separación similar al espacio. En otras palabras, el enfoque de Newton-Wigner logra construir estados de una sola partícula "localizados" solo jugando con la definición de "localizado". En retrospectiva, eso no es necesario. QFT relativista convencional parece funcionar bien. Sus partículas no están estrictamente localizadas, pero están tan localizadas como necesitan estarlo.

El límite clásico para la luz es una teoría ondulatoria. La amplitud (cuántica) de la onda de la función de onda se convierte en la amplitud (clásica) de la onda (por ejemplo, la magnitud del campo eléctrico), y el número esperado (cuántico) de fotones en un volumen se convierte en la intensidad (clásica) de la onda ( ej., el campo eléctrico al cuadrado).

Por supuesto, es correcto asignar la intensidad de una onda electromagnética clásica a la probabilidad de medir un fotón en un punto particular.

Me parece que Peierls está diciendo lo que dije anteriormente: el límite clásico de los fotones es una teoría de ondas, no una teoría de partículas. Por "teoría de partículas" quiero decir que habría una gran cantidad de partículas clásicas llamadas fotones que viajan a lo largo de trayectorias individuales. Hay muchos argumentos de que una teoría de partículas no puede funcionar para la luz clásica; el que usa Peierls está relacionado con las propiedades de transformación de Lorentz:

Si hubiera una teoría de partículas clásica de fotones, entonces tendría una cantidad observable llamada "número de fotones por volumen", y esperaría que se transforme en Lorentz de cierta manera. Pero la intensidad de una onda de luz clásica no se transforma de Lorentz de esa manera. QED. (Por el contrario, una función de onda de electrones SÍ se transforma de esa manera).

Peierls no dice nada sobre la teoría cuántica de la luz, o cómo se definen los observables. Realmente no creo que Peierls esté negando que el valor esperado del número de fotones sea proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda de luz. Al menos así es como yo leo los extractos.

Necesita la teoría cuántica de campos para describir la luz, ya que es claramente un sistema relativista. Los fotones son excitaciones del campo electromagnético (EM), que es un campo de bosón de espín 1. En el límite de un gran número de fotones se obtiene el límite clásico habitual, es decir, se puede describir la evolución del campo clásicamente con una buena aproximación. Por lo tanto, no es correcto pensar en el campo EM como simplemente una función de onda mecánica cuántica de un fotón a la que luego se podría aplicar la regla de Born.

Sin embargo, en el límite clásico, la densidad de energía del campo EM es proporcional al cuadrado de la magnitud del campo EM. Entonces, si tenemos un campo EM monocromático, la energía de cada fotón será una constante proporcional a la frecuencia de la onda EM y, por lo tanto, la densidad del número de fotones será proporcional al cuadrado de la magnitud del campo EM.

Podemos observar una partícula solo por sus observables, como carga, energía-momento, momento angular o espín. La densidad de probabilidad no es un observable. La regla de Born para electrones establece que la distribución de probabilidad para encontrar un electrón es$|\psi|^2$, pero de hecho esta es la densidad de carga Noether no relativista dividida por$e$. La ecuación de continuidad es simplemente la conservación de la corriente de carga.

Un fotón no tiene carga. Se puede observar por acoplamiento de dipolo eléctrico a, por ejemplo, un sitio activo en un detector. En este caso la distribución de$E^2$es observado. También se puede observar a través del acoplamiento de dipolo magnético y el$B^2$se observa la distribución. ¡ En general, estas dos distribuciones no son iguales ! Por lo tanto, la regla de Born como tal no se aplica y debe generalizarse. Esta generalización también cubre el caso de los fotones multicromáticos.

No tengo referencia de esto. Si nadie más lo ha hecho, considere esto como una publicación y consúltela con el enlace a esta publicación y al autor "AB van Oosten, científico independiente".