Radiación de cuerpo negro y segunda ley.

Question

Radiación de cuerpo negro y segunda ley.

vaferdolosa

Estoy luchando por encontrar lo que está mal con mi modelo del siguiente sistema que parece romper la segunda ley:

Imagine dos cuerpos negros perfectos puntuales a dos temperaturas $T1$ y $T2$ . Cada cuerpo negro está perfectamente aislado en el centro de un espejo esférico que refleja toda la radiación emitida sobre él. En cada espejo esférico hay un hueco definido por la diferencia entre la esfera y un cono de ángulo $a1$ o $a2$ cuya cumbre está sobre el cuerpo negro correspondiente. Los 2 orificios están uno frente al otro, y las longitudes canalizan todos los rayos que escapan de un cuerpo negro al otro:

En el equilibrio, el intercambio de energía entre los dos cuerpos negros es el mismo:

$P1 = P2$

la ley de Stefan-Boltzmann nos da:

$\sigma T1^4 S1 = \sigma T2^4.S2$ con S1 y S2 la superficie del agujero esférico

$T1^4.R²/2*a1 = T2^4.R²/2*a2$ con $R$ el radio de los espejos esféricos

$T1/T2 = (a2/a1)^{1/4}$ $T1 = k.T2$ con k en R+

Este resultado muestra que con el buen conjunto de valor para $a1$ y $a2$ , el sistema puede alcanzar un equilibrio para cualquier valor (relativo) de $T1$ y $T2$ . Esto es realmente perturbador para mí. Por ejemplo, podría tener una configuración donde al principio T1=T2 y en el equilibrio $T1>>T2$ , que parece romper la segunda ley de la termodinámica... (si esto es real, puse un motor térmico entre los dos cuerpos negros para generar energía ilimitada ^^)

¿Qué tiene de malo este enfoque? Sospecho que la ley de Stefan-Boltzmann no se aplica así si el cuerpo negro ya recibe radiaciones, pero no tengo idea de esto.

Respuestas (2)

Radiación de cuerpo negro y segunda ley.

Valle · Answer 1

Valle

La ley de Stefan Boltzmann es la ley incorrecta para usar en este problema. La ley de Stefan Boltzmann describe la potencia total radiada por un cuerpo negro, no la potencia transferida entre dos cuerpos negros. La ley correcta es la ley de transferencia de calor por radiación que se puede derivar de la ley de Stefan Boltzmann restringida apropiadamente para la geometría:

{\dot{q}}_{1 \to 2} = σ A_{1} F_{1 \to 2} (T_{1}^{4} - T_{2}^{4})

$\dot Q_{1\rightarrow 2}=\sigma A_1 F_{1\rightarrow 2}(T_1^4-T_2^4)$ donde lo principal que te faltaba en tu expresión es

F_{1 \to 2}

$F_{1\rightarrow 2}$ que es el factor de visualización del objeto 1 al objeto 2.

Desde $A_1 F_{1\rightarrow 2}=A_2 F_{2\rightarrow 1}$ no importa qué objeto consideres. solo obtienes $\dot Q=0$ para $T_1=T_2$

vaferdolosa

Gracias, sin embargo imagino que en mi caso A1F1→2 equivaldría a considerar que la potencia de salida es una fracción de la potencia total emitida, siendo esta fracción igual a la superficie esférica del agujero dividida por la superficie total de la esfera . Intuitivamente, parece estar en línea con la suposición de que todos los rayos emitidos se distribuyen uniformemente alrededor del cuerpo negro puntual y, por lo tanto, solo aquellos que atraviesan el orificio contribuyen al intercambio de energía. Si me equivoco con esto, ¿cuál es la interpretación física del poder de escape no proporcional a la relación del área de escape?

Valle

@vaferdolosa

A_{1}

$A_1$ es el área del objeto 1 que está "expuesta" al objeto 2 y

F_{1 \to 2}

$F_{1\rightarrow 2}$ es la fracción de rayos que salen

A_{1}

$A_1$ ese alcance

A_{2}

$A_2$ . Tanto el área como el factor de vista son importantes. Juntos vemos que cada rayo del objeto 1 al objeto 2 hay un rayo del objeto 2 al objeto 1. Entonces, el producto es el mismo de cualquier manera. Parece que solo estás considerando

A

$A$ y descuidando

F

$F$

vaferdolosa

Lo entiendo, pero tengo dificultades con "por cada rayo del 1 al 2 hay un rayo del 2 al 1". Por supuesto, esto es continuo (lo que significa un número infinito de rayos), por lo que en cierta medida podría ser matemáticamente cierto, pero si consideramos que podemos contar estos rayos (lo que significa que hay un número finito de ellos), el sistema con la apertura más grande envía más rayos que el otro. Imagine a1=45° y a2=1°, según tengo entendido A1 >> A2 mientras que F1→2 = F2→1 = 1 (gracias a las lentes, ningún rayo se "pierde"). ¿Dónde estoy equivocado? Gracias por tu paciencia conmigo ^^

Valle

@vaferdolosa Tu “gracias a las lentes no se pierde ningún rayo” es físicamente imposible. No hay una configuración posible de espejos o lentes que lo haga correcto. Desde

A_{1} / A_{2} = 45^{2}

$A_1/A_2=45^2$ entonces

F_{1 \to 2} / F_{2 \to 1} = 1 / 45^{2}

$F_{1\rightarrow 2}/F_{2\rightarrow 1}=1/45^2$ para cualquier configuración de lentes. Esta es la conservación de etendue. Es cierto que “el sistema de mayor apertura envía más rayos que el otro” pero no todos esos rayos que envía el grande llegarán al pequeño.

vaferdolosa

Ese es un buen punto, sin embargo, puedo estar equivocado, pero creo que puedo proponer una configuración de este tipo: en cada salida, coloque una lente cuyo punto focal sea el cuerpo negro. Entonces todos tus rayos son paralelos y están contenidos en cilindros de radio Ri dado por tan(ai) = Ri/fi => fi = Ri/tan(ai). Sabiendo que puede elegir dos lentes con focalsf1 y f2 para obtener el mismo radio para ambos cilindros de rayos de los dos sistemas, alinéelos y cada rayo saliente de un sistema se enfocará en el otro cuerpo negro. (¿No sé si está claro sin esquema?) ¿Dónde está el error en mi solución? Una vez mas, Gracias

Valle

@vaferdolosa No puedo entender tu geometría por la descripción, pero los detalles no son importantes. Es simplemente imposible. No me interesa un juego de “encontrar el problema con este dispositivo imposible”. Es mucho más fácil proponer dispositivos imposibles que explicar por qué son imposibles. Lea acerca de la conservación de etendue.

Valle

@vaferdolosa aquí hay una buena referencia sobre los factores de visualización. Quizá sea un poco más directamente útil que la conservación de etendue: webserver.dmt.upm.es/~isidoro/tc3/…

vaferdolosa

Gracias por esta interesante lectura, ahora tengo una mejor comprensión de los factores de visualización. Sin embargo, no puedo usar este formalismo, mis cuerpos negros son puntuales, es decir, sus áreas son 0 (esta puede ser una forma de explicar el problema, pero no me convence). De todos modos, según tengo entendido, integrar los rayos sobreemitidos como lo hago yo (es decir, contar los rayos) parece ser el mismo enfoque subyacente. Y la interpretación física es más obvia de esta manera. Entonces, ¿por qué recibo más "rayos entrantes" que "salidos"? El problema parece venir del sistema de peering óptico, pero ¿cuál es el fallo del propuesto anteriormente?

Valle

@vaferdolosa desde

{\dot{Q}}_{1 \to 2} = σ A_{1} F_{1 \to 2} (T_{1}^{4} - T_{2}^{4})

$\dot Q_{1\rightarrow 2}=\sigma A_1 F_{1\rightarrow 2}(T_1^4-T_2^4)$ si

A = 0

$A=0$ entonces

\dot{Q} = 0

$\dot Q=0$ , así que problema resuelto. O si relaja ese requisito "puntual", entonces puede usar los factores de vista donde

A_{1} F_{1 \to 2} = A_{2} F_{2 \to 1}

$A_1 F_{1\rightarrow2} = A_2 F_{2\rightarrow 1}$ , así que problema resuelto. O si usa el trazado de rayos, entonces cualquier rayo del 1 al 2 también es un rayo del 2 al 1, así que el problema está resuelto.

vaferdolosa · Answer 2

Aquí hay un shema más detallado, especialmente con el sistema de emparejamiento óptico detallado:

Llamemos a A el área de un cuerpo negro (los 2 son idénticos), la regla de reciprocidad nos da:

$A.F_{1\rightarrow 2} = A.F_{2\rightarrow 1}$

También:

$F_{1\rightarrow 2} + F_{1\rightarrow M1} = 1$

$F_{2\rightarrow 1} + F_{2\rightarrow M2} = 1$

Después de la sustitución:

$F_{1\rightarrow M1} = F_{2\rightarrow M2}$

Entonces, como los dos cuerpos negros tienen la misma área, esto significaría que los dos espejos reciben la misma cantidad de energía entrante de su cuerpo negro, mientras que la exposición de su superficie es muy diferente entre sí, mientras que la configuración es la misma.

Esto muestra que hay una falla en alguna parte. Destaca que debe haber otra fuente de energía/drenaje para nuestro espejo que explique esta igualdad.

Para mí el tema viene de las fuentes puntuales. Si tienen un área externa emisora, significa que no son puntuales (como lo señala @Dale). Esto implica que la imagen de un cuerpo negro no es perfectamente la imagen del otro (más grande o más pequeño). Por lo tanto, algunos rayos pueden pasar por alto el cuerpo negro pseudo puntual, alcanzando el espejo y probablemente regresando al emisor, lo que explica los resultados anteriores y por qué la modelización del sistema es incorrecta (no se puede usar la fuente puntual aquí)

Gracias @Dale por tu ayuda, trabajar con factores de vista me ayudó a resolver esto.

En mi opinión, la otra respuesta está completa y debería haber sido aceptada.
La otra respuesta era relevante, pero no apuntaba al origen del problema (que era mi pregunta), es decir, el uso de una fuente puntual para esta modelización, que es incompatible con el modelo de radiación de cuerpo negro. Ya sea que formalice este problema con el trazado de rayos o los factores de visualización, no cambia nada. Sin embargo, el uso del factor de vista fue útil, ya que destacó consecuencias inesperadas en el equilibrio de poder, como se detalla en esta respuesta.

Radiación de cuerpo negro y segunda ley.

vaferdolosa

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