¿Qué tan robusta es la degeneración de Kramers en material real?

El teorema de Kramers se basa en un número impar de electrones. En realidad, el número total de electrones es de unos 10^23. ¿Pueden esos electrones ser tan inteligentes como para contar el número total con precisión y decidir formar dobletes de Kramer o no?

Creo que el teorema de Kramer no es realmente útil para un material a granel, ya que el concepto de degeneración no tiene significado. En un material a granel, tendrá bandas de energía, no niveles discretos como en los átomos individuales. Los dobletes aún pueden existir, pero solo si los electrones no interactúan.

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Recuerde que para los materiales cristalinos, generalmente asumimos un número infinito de partículas y que los electrones no interactúan. Esto nos permite hacer la transformada de Fourier y ver que cada pseudo-momento k es independiente --- esencialmente para considerar una sola celda unitaria. En este contexto, el teorema de Kramer establece que si hay un número impar de electrones por celda unitaria (ignoramos los protones y los neutrones si no nos importa la estructura hiperfina; de lo contrario, lo haríamos), y asumiendo la invariancia de inversión en el tiempo, hay (en menos) una doble degeneración de todos los niveles de energía. De hecho, esto puede verse como la base de los aisladores topológicos.

No creo que deba ser el número de electrones por celda unitaria. Supongamos que estamos hablando de electrones que no interactúan en un potencial periódico, los estados de Bloch existen exactamente debido a la disposición periódica de las celdas unitarias, y son estos estados de Bloch los que estamos transformando bajo inversión de tiempo. Además, cuando hablamos de simetría de inversión de tiempo, de hecho nos referimos a la simetría del sistema completo hamiltoniano, por lo que los estados propios correspondientes deberían ser un estado multipartícula, que en este caso debería ser el producto antisimetrizado de un solo -Estados de partículas con espín incluido.
En la prueba del teorema de Kramers, el ingrediente clave es T 2 = − 1 , que es equivalente a T 2 | ψ ⟩ = − | ψ ⟩ , dónde | ψ ⟩ en este caso es el estado multipartícula antes mencionado. Si nos centramos en la parte giratoria de | ψ ⟩ , que debe ser de la forma | s 1 ⟩ ⊗ . . . ⊗ | s norte ⟩ , entonces el efecto de T 2 en la parte giratoria debe ser un factor de ( − 1 ) norte , donde N es el número total de electrones en el sistema. Por lo tanto, para tener T 2 = − 1 , requerimos que el número total de electrones en el sistema sea impar.

Creo que el teorema de Kramer realmente solo es útil cuando puedes escribir una función de onda para tu sistema. Luego le dice la degeneración del estado fundamental de su función de onda. Si tiene 1 mol de su material, no podría escribir una función de onda para él, por lo que la degeneración del estado fundamental no tendría sentido.

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