¿Qué tan intenso sería el campo magnético que se necesitaría para mantener una hipotética luna hecha de hierro orbitando a su alrededor?

Este es un problema más complicado de lo que usted puede darse cuenta.

Para la atracción electrostática , la declaración es agradable y clara. Quieres la fuerza gravitacional

$$F_g = G\frac{M_\text{earth}M_\text{moon}}{r^2}$$ ser igual a una fuerza electrostática $$F_e = \frac1{4\pi\epsilon_0}\frac{q_\text{earth}q_\text{moon}}{r^2}.$$ Si pregunta que la relación de carga $q_\text{moon}/q_\text{earth}$ser igual a la relación de masa $M_\text{moon}/M_\text{earth} \approx 1/80$, tu encuentras $$q_\text{earth} = M_\text{earth}\sqrt{4\pi\epsilon_0 G} \approx 5\times10^{13}\,\mathrm C.$$ Esto es mucho cargo, pero no es mucho cargo. Se trata de $5\times10^8$moles de cargas fundamentales, que son solo 500 toneladas de protones adicionales, o un cuarto de tonelada de electrones adicionales.

Si quieres hacer una fuerza magnética , el problema es mucho más espinoso. El campo magnético terrestre sería

$$\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac1{r^3} \left( (\vec m_\text{earth} \cdot \hat r)\hat r - \vec m_\text{earth} \right)$$ dónde $\vec m_\text{earth}$es el momento dipolar de la tierra, $r$es la distancia desde el centro del dipolo, y $\hat r$es un vector unitario que se aleja del centro del dipolo. Para tener un campo constante sobre la órbita de nuestro imán-luna, debe orbitar alrededor del ecuador magnético terrestre. La fuerza sobre la luna es $$\vec F = \vec \nabla (\vec m_\text{moon}\cdot\vec B) = m_\text{moon} \vec\nabla |B|$$ donde podemos hacer la segunda aproximación solo si exigimos que el momento dipolar de la luna sea siempre paralelo al campo magnético local. Afortunadamente para nosotros, esta es la forma en que el dipolo de la luna quiere alinearse: dos dipolos en el mismo plano quieren orientarse en forma antiparalela y acercarse el uno al otro.

En este caso muy restringido, la fuerza total es

$$\vec F = -\hat r\frac{3\mu_0}{4\pi} \frac{m_\text{earth}m_\text{moon}}{r^4}.$$ Ajuste de los dos momentos dipolares $m$iguales entre sí y la fuerza igual a la fuerza gravitacional, encontramos $$m = r\sqrt{G M_\text{earth} M_\text{moon} 4\pi/3\mu_0} = 4\times10^{23}\,\mathrm{A\,m^2}$$ ¡Este es un gran momento dipolar! Supón que quisieras hacer esto con un electroimán del mismo tamaño que la Tierra. La sección transversal de la Tierra en el ecuador es $\pi R_\text{earth}^2 \approx 10^{14}\,\mathrm m^2$; ¡Para hacer este momento dipolar necesitarías enrollar un millón de vueltas de cable alrededor del ecuador y ejecutar 4000 amperios en cada vuelta! Además, necesitarías el mismo momento dipolar magnético en la luna.

No he abordado lo que considero un detalle en su pregunta, que la luna sería un dipolo magnético inducido , porque el ferromagnetismo es otra capa de desorden. Puedo decirle con confianza que no sería capaz de inducir$m_\text{moon} = m_\text{earth}$, por lo que necesitaría un dipolo aún más grande en la tierra para hacer el producto$m_\text{moon}m_\text{earth}$salir bien Podría ser que la fuerza del dipolo inducido también dependiera de la separación entre la Tierra y la Luna, en cuyo caso es muy posible que no hubiera una órbita estable en absoluto.

También vale la pena señalar de nuevo que si relajamos nuestras suposiciones de que el dipolo lunar es exactamente antiparalelo al dipolo terrestre, y que la órbita tiene lugar exactamente en el plano del ecuador, perdemos el "agradable"$1/r^4$fuerza. Tampoco tengo idea de si esta órbita "agradable" es estable.

Lo que sucede aquí es que la fuerza magnética es un efecto de segundo orden del electromagnetismo. Hace una gran diferencia que la fuerza entre dos dipolos caiga como$1/r^4$en vez de$1/r^2$.

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Se me ocurre que tendría más sentido comparar este dipolo magnético con otro campo magnético astrofísico, en lugar de un campo de laboratorio hecho de bobinas y corrientes. Por lo general, el campo magnético natural de la Tierra es de aproximadamente 50 μT en la superficie (alrededor de medio gauss). Si la dínamo que genera el campo magnético de la "tierra" fuera más pequeña que el radio de la tierra, de modo que pudiéramos usar la aproximación del campo dipolar en la superficie, el campo que calculé anteriormente tendría una fuerza$\sim 10^{3}$ T a la una$R_\text{earth}$desde el centro Esta es esencialmente la misma intensidad de campo que una magnetar : una magnetar puede tener un campo superficial de$10^8$–$10^{11}$ T, pero también suelen tener radios de$10^{-3}R_\text{earth}$.