¿Qué tan avanzada puede llegar una civilización sin cero?

Más o menos exactamente lo que dice en la lata. Comience con un grupo de hombres de las cavernas en la tierra prehistórica, descubriendo el fuego, el lenguaje, las ruedas, etc., y llévelos por el camino hacia la civilización, pero con una gran diferencia: en ningún momento nadie pensará en el concepto de cero matemático.

¿Qué tan grande sería este obstáculo? ¿Exactamente cuántas tecnologías podrían haberse inventado sin matemáticas inclusivas de cero? Podrías tener cosas como cerámica, fundición y agricultura, todo muy bien. Incluso podría tropezar con algunas de las tecnologías más básicas, como la imprenta o la desmotadora de algodón, sin darse cuenta de cero. Pero cosas como la física o la economía serían complicadas, o tal vez incluso imposibles. ¿Exactamente cuánto de nuestra sociedad moderna depende de alguna manera del cero y hasta dónde podríamos haber llegado sin él?

Algunos detalles:

  • La base 10 no existe, probablemente nos estamos quedando sin base 9
  • Cualquier cosa que involucre matemáticas más complicadas que el álgebra básica está completamente fuera de discusión (física orbital, electrónica avanzada, etc.)
  • Cualquier cosa que se pueda resolver de manera factible sin hacer las matemáticas primero es un juego justo, pero no si tiene un descubrimiento de requisitos previos que requiera matemáticas. Entonces, por ejemplo, probablemente podría inventar una máquina de vapor simplemente sabiendo lo suficiente sobre la presión del vapor y cómo se comporta en un espacio confinado, pero probablemente no podría inventar una radio. Además, puede que no sea una máquina de vapor muy buena, porque es posible que no puedas calcular fácilmente las fuerzas que actúan sobre el metal que hace la caldera, por lo que todo podría explotar.
  • Mucho de esto probablemente tendrá que ver con estructuras organizacionales más grandes. En otras palabras, no es inventar el tren, es asegurarse de que el tren llegue a tiempo.
Si bien esta es una pregunta interesante, parece extremadamente basada en opiniones. Quizás podría agregar más restricciones para corregir este problema.
La falta de un cero dificultaría las matemáticas. Sin embargo, la mayoría de las tecnologías fueron construidas por hombres y mujeres prácticos sin el beneficio de los números. La tecnología podría desarrollarse a una distancia razonable. Las ciencias probablemente no. El problema es que el concepto de cero es demasiado útil para que alguien no lo invente. Esto sucederá muchas veces, de forma independiente.
Cualquier sistema de valor posicional estándar necesita un cero, ya sea base 10, base 9 o base 27. (En base 9 estándar, usa los símbolos "10" para representar 8+1).
Una cosa es no tener un símbolo que represente el cero y otra cosa es no tener el concepto abstracto de "nada". Incluso un niño pequeño sabe que si tiene un juguete y se lo quitas, se quedará sin juguetes. Y llora. Todas las matemáticas comienzan contando, e incluso los animales más simples conocen la diferencia entre "algo" y "nada".
¿Qué quiere decir con el "concepto de cero matemático" ? Si te refieres a un medio para representar "sin manzanas", entonces nunca he oído hablar de un idioma que carezca de una palabra para "nada". El latín tiene nullus y nihil (y nil ), el griego tiene οὐδείς ... Si estás en la historia de la teoría de números, entonces probablemente sepas que para los antiguos griegos uno no era un número.
Esta es una pregunta bastante interesante, pero varias de sus premisas son incorrectas. La base 10 se desarrolló sin cero (los griegos, al menos). También desarrollaron matemáticas más complejas que la aritmética: geometría, trigonometría y el "método de agotamiento", que es el protocálculo. Los griegos también inventaron una máquina de vapor antes de tener un cero; una de las grandes preguntas de la historia es por qué nunca la desarrollaron más. Por cierto, como han comentado otros, la mayoría de las civilizaciones antiguas tenían un concepto de nulidad; lo que había que inventar era el cero posicional .
Dilbert obligatorio: dilbert.com/strip/1992-09-08
Personalmente, tengo un poco de curiosidad por saber si un sistema numérico sin un concepto de cero evitaría o conduciría a una alternativa de la excepción clásica de 'dividir por cero'.
Una de las causas menos conocidas de la caída de la civilización romana fue que, al carecer de cero, no tenían forma de que sus programas C salieran con éxito (Esta broma es casi tan antigua como C o los romanos; no puedo reclamar crédito para ello)
@DavidThomas Los números romanos realmente no tenían cero. Por otra parte, la división usando números romanos fue difícil de todos modos. La idea de dividir por cero ciertamente nunca se habría ocurrido, pero solo porque los romanos nunca desarrollaron matemáticas superiores de todos modos. Nada más allá del conteo básico y la geometría.
Los romanos tenían un 0 y un sistema de lugar, pero no una notación para ello. Usaron el ábaco en ingeniería, que es un sistema completo de valor posicional con ceros en las columnas correspondientes. (Y el ábaco también se puede usar para la multiplicación y la división). Los números romanos se usaban como notación, no como cálculo.
@DoktorJ se me adelantó :(
@AlexP: Creo que la idea central del "concepto de cero matemático" se puede describir mejor de la siguiente manera: cuando se le pregunta "¿cuántas manzanas tiene?", ¿su respuesta es una cuantificación ("cero") o rechaza la premisa ( "No tengo manzanas"). Algunas personas hoy solo pueden concebir esto último; que usar la palabra "cero" es una forma graciosa de decirlo.
@Hurkyl: En este caso, los romanos tenían el concepto de cero, porque en latín se puede responder "nullum mālum habeo" , no tengo manzanas.
"La base 10 no existe, probablemente nos estamos quedando sin base 9", ¿el punto? 1, 2.. 9, 1a, 11.. y a nunca se usa solo. Otro problema sería por qué esa civilización usa una base dada, pero eso no es relevante aquí.

Respuestas (3)

Creo que la pregunta no es tanto qué podemos hacer sin el cero, sino cómo el cero podría permanecer sin descubrir cuando los humanos comienzan a avanzar.

Una de mis citas favoritas de uno de mis matemáticos contemporáneos favoritos (Roger Penrose) es que siempre es posible crear ecuaciones a partir de números de un tipo dado cuya respuesta va más allá de ese tipo:

  • Enteros positivos: 1 − 1 = a o 1 − 6 = a
  • Todos los enteros: 1 2 = a
  • Racionales: 2 = a
  • irracionales: − 1 = a

Antes de la ciencia, el motor principal de las matemáticas era el comercio. ¿Cómo podemos pagar una cuenta si no existe el concepto de cero? ¿Cómo registramos los saldos como totalmente pagados?

No es tanto que no pudiéramos avanzar sin el concepto de cero, es más que descubrir el concepto de cero siempre iba a ser un subproducto del avance. Conceptualmente, siempre iba a aparecer en matemáticas porque es un concepto necesario sobre el cual construimos bases adicionales.

Yo diría que la lucha inicial de los griegos con el cero como concepto solo hizo retroceder a la civilización occidental varios siglos, en lugar de impedirla realmente. Cuando fue (re)introducido en la cultura europea durante la Edad Media por los moros españoles, fue adoptado como una necesidad. Que Egipto (por ejemplo) tuviera el concepto de cero casi 2 milenios antes de la época de Jesús debería identificarlo como un concepto que siempre fue inevitable.

Para descubrir los irracionales, sqrt(2) es más fácil y se mantiene dentro de los límites del álgebra.
Creo que la pregunta es, de hecho, ¿cómo podríamos hacer todo eso? Y, si no, entonces qué haríamos en su lugar. Es un ejercicio mental, no un llamado a la revolución. Los árboles parlantes son incluso menos plausibles, pero eso no impidió que Tolkien construyera un mundo perfectamente bueno.
Sobre el último párrafo: sería discutible que no tuvieran el concepto del cero. Probablemente sabían bastante bien que puede existir una cantidad cero de algo. Es cómo lo simbolizan dentro de su sistema de escritura y sus representaciones numéricas lo que fue el gran problema, no es que no tuvieran idea sobre el concepto de que puede haber una cantidad cero de algo.
@Draconis Posiblemente, pero creo que esto ilustra mejor que todo es una cuestión de definición.
@vsz No, precisamente no tenían idea de 'cantidad cero de algo' . Tenían la idea de que había ' una cantidad de algo' y ' nada '. Para ellos, fue un error de categoría, no un punto en un gradiente unificado.
Del mismo modo, '¿cómo registramos los saldos como totalmente pagados?' Usted borra, cruza, sella, etc. la entrada del libro mayor. No hay deuda, no hay cantidad cero de alguna deuda.
Esas ecuaciones en realidad deberían decir: ● “Enteros positivos: 1 = 1 + a o 1 = 6 + a ”, ● “Todos los números enteros: 1 = 2 · a ”, ● “Racionales: sea a la longitud más corta de un camino cerrado alrededor algún punto p puede tener sin acercarse nunca a p a una distancia inferior a ½”, ● “Irracionales: a ² = -1”. Porque conceptos como el operador de división o la raíz cuadrada en negativos simplemente no tienen sentido antes de definir qué propiedades se supone que debe cumplir.
Sin cero ni negativos, tu concepto de lo que es la resta es diferente. 1 - 2 no es "-1", no es nada, porque te caíste al final de la tabla. Sin fracciones, tu concepto de división es diferente. "1/2" no es "un medio", es "resto 1", porque así es como funciona la división entera pura.
Espera, ¿qué pasa con eso de "siempre es posible"? ¿Cuáles son las siguientes dos clases de números en esa secuencia?
@lly: si lleva la contabilidad, no puede simplemente borrar, debe escribir algo en la línea. Eso deja a "cruz, sello" una representación efectiva de un concepto de cero.
@Alexander No, no lo haces y a menudo no lo hacen . Puede destruir fácilmente la página del libro mayor (o ficha, ficha, marcador, etc.) por completo. Su concepto de deuda no incluía la idea de "ninguna" deuda que necesitara registrarse de ninguna forma. La ausencia de deuda era una categoría completamente separada, que no requería registro.
Por lo que vale, no digo que cero no sea un concepto bueno y útil. Solo digo que no, no lo necesitaban en ese caso y, de hecho, se las arreglaron bien durante literalmente miles de años sin deudas.
@Ily, estoy hablando de contabilidad en general, si obtenemos un resultado intermedio como cero, ¿qué hacemos? Destruir las páginas del libro mayor no es lo que haría un empresario prudente.

La falta de un cero no limitaría las matemáticas tanto como crees.

Contrariamente a la creencia popular, es posible tener un sistema numérico sensible al lugar sin ningún dígito para representar el cero. Es un poco engorroso, pero puede representar cualquier número racional excepto el cero mismo.

Cómo funciona:

(Nota: primero daré ejemplos en base diez y luego mostraré cómo el concepto funciona igualmente bien en base nueve. De lo contrario, creo que los ejemplos serían demasiado difíciles de leer).

Si eliminas el cero, solo necesitas introducir un dígito adicional para representar la base numérica. Por ejemplo, en base diez, el dígito de diez podría ser "X".

Entonces, para contar del uno al veinticinco (en base diez), tendrías:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X , 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1X , 21, 22, 23, 24, 25

Tenga en cuenta que "1X" representa veinte , aunque comience con un 1. Específicamente, "1X" significa que tiene diez unidades ("X" en la columna de las unidades) y una decena ("1" en la columna de las decenas). Si crecimos con este sistema, probablemente llamaríamos a este número "diez-dieciséis" o algo similar.

Contar de 95 a 115 se vería así:

95, 96, 97, 98, 99, 9X , X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 , X7 , X8 , X9 , XX , 111, 112, 113, 114, 115

"9X" representa cien ("nueve decenas y diez unidades"), y probablemente se pronunciaría algo así como "noventa y diez".

Podría representar valores no enteros como fracciones simples:

195 X 1 1385 X

También podría usar un punto decimal con este sistema, pero es un poco engorroso, porque tendría que usar notación científica para números menores que uno:

1.234567 = 1.234567
2.01 = 1.X1
0.00201 = 2.01×10 -3 = 1.X1×X -3

Todos los ejemplos anteriores están en base diez, pero, por supuesto, puede usar cualquier base numérica que desee. Por ejemplo, en base nueve, los primeros veintitrés enteros positivos se escribirían como:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25

Es difícil imaginar que la notación científica (que requiere exponentes) se desarrolle sin el concepto de cero.
@Draconis No me resulta demasiado difícil de imaginar. Los exponentes son solo una extensión del concepto de multiplicación, y la multiplicación funciona bien sin cero. Además, realmente no necesitas entender los exponentes para usar la idea detrás de la notación científica. Todo lo que realmente necesita saber es que este número debe cambiarse en tres lugares cuando lo agrega a ese número.
@plasticinsect En cambio, puede atenerse a las fracciones simples (se conocían mucho antes que las decimales y, de hecho, son más universales)
@hyst329 Gracias. Agregué una mención de fracciones simples a la respuesta.
No veo la necesidad de forzar un sistema numérico similar al nuestro, donde un dígito cero encajaría más naturalmente... considere algo basado en un análogo suelto de números romanos en base 9... I, II, III, IIII, IIIIN, IIIN, IIN, IN, N, NI, NII, NIII, NIIII, NIIIIN, etc. "nada" / "vacío" es solo un espacio en blanco y no es un número. Las potencias de 9 (o tal vez 3) obtienen símbolos únicos. Las fracciones simples con potencias de 9 como denominador son equivalentes a la "notación científica". Como el cero no puede aparecer como el denominador de una fracción simple, esto confirma aún más que el concepto no se corresponde con un número.
@Steve La principal desventaja de los números de estilo romano es que no son sensibles al lugar. Por eso, es muy difícil hacer aritmética con ellos. Los números sensibles al lugar (que incluyen tanto el sistema con el que estamos familiarizados como el sistema descrito en mi respuesta) hacen posible hacer cosas como largas multiplicaciones, divisiones, sumas, restas, etc. Esta es una gran ventaja.
@Steve: los números de "estilo romano" nunca se han usado para las matemáticas. Fueron utilizados para escribir valores numéricos en el texto . Para las matemáticas, los romanos usaban el sistema griego, que es muy similar a lo que describe esta respuesta. (Y que incluía un símbolo para "nada", utilizado en tablas matemáticas).
Gran respuesta. Este sistema parece una locura porque estamos muy acostumbrados al nuestro, pero en realidad lo encuentro algo convincente. Sospecho que en realidad no estaría mal si usáramos un sistema libre de ceros, en lugar de tener cero, pero siempre comenzando a contar desde uno. (Sin embargo, creo que el mejor enfoque es comenzar a contar siempre desde cero, como lo hacen la mayoría de los lenguajes de programación).
Imagine este sistema desarrollándose contando con las manos en base cinco , con el pulgar como X y una mano como la columna de los unos y la otra mano como la columna de los cinco. Esto es (um) útil porque ahora podemos contar hasta 30 con los dedos, y el pulgar ya es claramente un tipo de dígito "especial". Intenté contar de esa manera, y en realidad es más intuitivo que contar en base 6 con dos manos y cero.

Una forma en la que el concepto de cero podría permanecer sin descubrir: la disponibilidad temprana de computadoras basadas en un sistema de punto flotante. La explicación más fácil sería que las computadoras provengan de una civilización alienígena o de una población humana más avanzada y perdida hace mucho tiempo.

Nuestro estándar actual para punto flotante, IEE 754 , tiene un caso especial para valores cero. La representación normal puede manejar números hasta 10⁻³⁸ = 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 001. Los números más pequeños que este se almacenan como números anormales, de los cuales cero es un caso especial adicional.

La falta de cero como concepto es inherente a las representaciones de punto flotante que intentan minimizar el espacio de almacenamiento requerido. Como todos los demás números tienen al menos un 1bit, el primer 1bit no se almacena en el formato. Tenga en cuenta, sin embargo, que todavía existe el cero como dígito.

Ahora bien, si las personas no tuvieran un concepto preexistente del cero, ¿lo descubrirían de las computadoras? Parece probable que, al menos por un tiempo, considerarían cualquier cosa tan pequeña como insignificante para discutir, y no entenderían la diferencia entre 10⁻³⁸ y 0.

Con estos antecedentes, ¿hasta dónde podrían avanzar?

Yo diría que pueden manejar bien incluso cálculos complejos, delegándolos a la máquina. Habría una falta de interés en desarrollar técnicas de cálculo manual cuando las computadoras lo hacen mucho más rápido.

Sin embargo, una investigación profunda en matemáticas haría que eventualmente se descubriera el cero. Por lo tanto , se descartaría cualquier tecnología que requiera un conocimiento profundo de las matemáticas o la física para su construcción , aunque, al igual que las computadoras, podrían operarla si la tuvieran lista.

Esto se convierte en un dilema del huevo y la gallina. No se revela cómo obtendrían computadoras de coma flotante sin cero. -1
Si asumimos que estas computadoras fueron diseñadas por alguna otra civilización que tenía un concepto de cero (que es, creo, una suposición necesaria para que hayan inventado las computadoras), ¿por qué las computadoras no estarían diseñadas para representar y mostrar el cero? Parece que la joven civilización que descubre/hereda estas computadoras se vería obligada a aprender sobre cero para poder usarlas.
Creo que el punto flotante se puede representar fácilmente como cabezas/cruces, manos/pies, izquierda/derecha. Entonces, el concepto de cero no necesitaría usarse como concepto para la manipulación mecánica del sistema. El juego "Paddy-cake" podría ser un cálculo.
@plasticinsect: La idea es que las computadoras representen el cero como un valor anormal/caso especial, pero para un usuario que no entiende el cero, cualquier valor tan pequeño parecería insignificante y no se molestarían en aprender la diferencia entre el cero verdadero y muy pequeño
Si bien los cálculos de coma flotante pueden eludir el problema del cero durante algún tiempo, el concepto de cero está absolutamente presente. "1.-1". debe imprimir "0.", y "1./(1.-1.)" debe dar como resultado un error o "infinito", si el software está manejando esta condición. Sin embargo, el software puede diseñarse deliberadamente para ocultar el 0 al usuario, pero requiere que alguien que entienda "cero" muy bien lo haga.
¿Qué tan avanzada puede llegar una civilización sin cero?
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