¿Qué son los campos electromagnéticos de un fotón?

La respuesta corta es$\vec E=\vec B=0$. Por extraño que parezca, este es solo uno de los numerosos hechos contraintuitivos del reino cuántico. Pero primero permítanme tratar de aclarar, sin entrar en detalles matemáticos, el contexto dentro del cual deben interpretarse estas igualdades.

Quizás una de las formas más fáciles de abordar la naturaleza cuántica del campo electromagnético en el vacío es estudiar el campo en una cavidad perfectamente conductora.

Clásicamente, dicha cavidad admite modos infinitos contables distintos, cada uno con su propia frecuencia específica y perfil espacial. El campo electromagnético atribuido a cada modo está completamente definido por la forma de la cavidad, hasta una constante multiplicadora, que representa la energía contenida en cada modo.

En el enfoque del campo cuántico, los valores de la energía que contiene cada modo están cuantificados y espaciados equitativamente, dados por la expresión

$$E = \hbar\omega (n+1),$$ con $n$siendo igual a "el grado de excitación", o número de fotones de cada modo.

El número de fotones es una cantidad física observable relacionada con el operador$\hat{N}$, pero en la óptica cuántica, así como en la mecánica cuántica de partículas individuales, no todos los operadores de todas las cantidades observables conmutan. En particular$\hat{N}$no viaja con$\hat{\mathbf{E}}$y$\hat{\mathbf{B}}$, los operadores del campo eléctrico y magnético respectivamente. En otras palabras, no se puede saber el número de fotones y el valor del campo eléctrico simultáneamente.

Cuando la cavidad se encuentra en un estado propio de$\hat{N}$, que generalmente se denomina estado numérico o estado de Fock, el valor esperado del operador de campo eléctrico y el operador de campo magnético es igual a cero. Esto es lo que implica la expresión del principio. Por otro lado, las fluctuaciones son proporcionales a los valores clásicos del campo y aumentan con el aumento del número de fotones.

Los estados en los que el valor esperado del campo eléctrico toma su valor clásico se denominan estados coherentes y se consideran los que más se asemejan a la luz clásica. En tales estados, no se conoce el número exacto de fotones.

Para reformular mi declaración inicial, es imposible atribuir algún valor de campo a un fotón, excepto en el sentido del valor esperado en un estado de número de fotón 1, donde siempre es igual a cero.

La luz, el campo electromagnético clásico, se construye/emerge de una gran cantidad de fotones, no de una manera simple.

Los fotones son partículas elementales y, por lo tanto, solo pueden describirse dentro de un marco mecánico cuántico. Tienen una función de onda que obedece a la forma potencial de las ecuaciones de Maxwell convertidas en operadores que operan sobre la función de onda del fotón. En este enlace se muestra un camino de cómo la onda clásica emerge del estado cuántico. Agitando mi comprensión de esto: un fotón, además de su espín, tiene información relacionada con A, el potencial electromagnético cuya información acumula el potencial correspondiente de la onda clásica y, por lo tanto, los campos de luz eléctricos y magnéticos observados macroscópicamente.

Existe también este preprint .

Se describen las propiedades de las soluciones de campo electromagnético de seis componentes de una forma matricial de las ecuaciones de Maxwell, análogas a las soluciones de cuatro componentes de la ecuación de Dirac. Se muestra que la ecuación de seis componentes, incluidas las fuentes, es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Se proporcionan conjuntos completos de funciones propias del hamiltoniano para los campos electromagnéticos, que pueden interpretarse como funciones de onda de fotones, tanto para ondas planas como para estados propios de momento angular.

En esta preimpresión hay un campo E y B explícito en la expresión de la función de onda del fotón (siempre se debe tener en cuenta que la función de onda al cuadrado da una distribución de probabilidad).

La respuesta es: no puedes preguntar. Es decir, la pregunta es contrafáctica, en el sentido de la mecánica cuántica.

En la electrodinámica cuántica, su objetivo es incluir el electromagnetismo en el mismo tipo de mecánica cuántica que utiliza, como el movimiento de un electrón alrededor del átomo o una partícula que sufre difracción en un experimento de doble rendija. En mecánica cuántica, se toma la cantidad dinámica de interés (digamos, la posición de un electrón alrededor de un átomo) y se construyen funciones de onda sobre esa cantidad dinámica:

$$\begin{array}{c} \text{classical mechanics}\\ x(t) \end{array} \ \mapsto\ \begin{array}{c} \text{quantum mechanics}\\ \psi(x,t) \end{array}$$ Esto significa que ya no se puede hablar de "el" valor de la partícula; en cambio, si decide medir la posición de la partícula a la vez $t$, entonces puedes hablar sobre la distribución de valores posibles y sus probabilidades (dadas por $|\psi(x,t)|^2$), así como cosas como el valor promedio, el ancho de la distribución, etc.

En electrodinámica cuántica, sus variables de interés son esencialmente las amplitudes del campo eléctrico*$E(t)$, entonces haces lo mismo: eliminas el "tener un valor" de esa variable dinámica y lo cambias por una función de onda:

$$\begin{array}{c} \text{classical electrodynamics}\\ E(t) \end{array} \ \mapsto\ \begin{array}{c} \text{quantum electrodynamics}\\ \psi(E,t) \end{array}$$ Esto significa, por lo tanto, que ya no se puede hablar de "el" valor del campo eléctrico; se ha convertido en un operador y ya no tiene valor. En cambio, tienes algo de distribución.

Dadas algunas suposiciones razonables, la distribución de probabilidad para la amplitud de un modo dado (es decir, alguna onda viajera o estacionaria) cuando el campo está en un estado de un fotón se ve más o menos así:

En este estado, puede tener una idea razonablemente buena del valor del cuadrado de la amplitud, pero lo más importante es que no tiene información sobre la fase de las oscilaciones del nodo. Entre otras cosas, esto significa que el valor promedio del campo de ese modo en cualquier punto dado será cero.

Hay muchas sutilezas adicionales, pero este es un punto de partida razonable.

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^{Obviamente, esto oculta muchos matices, pero lo esencial se mantiene. En realidad, sus variables dinámicas son las amplitudes de modos dados, es decir$E(t)$es la amplitud de alguna onda estacionaria o viajera. También hay problemas al tratar con indicadores y demás, pero una vez que haya hecho todo eso, todavía se verá igual.}

^{Código de Mathematica para la imagen a través de Import["http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m"]["http://i.stack.imgur.com/334QY.png"].}

Como ya notó, los fotones no son físicos, ya que corresponden a soluciones infinitas de trenes de ondas.

Cuando la mayoría de la gente se refiere a los fotones, probablemente se refiera a esos destellos que golpean individualmente la pantalla del detector. No estoy seguro de cuáles son en realidad, ya que no son infinitamente nítidos, pero tienen patrones de manchas, como manchas gaussianas.

Lo que estás pidiendo, y lo que mejor se corresponde con lo que ves en la pantalla de un detector, es algo más localizado. Estos se describen mejor con la ayuda de estados coherentes.

En la teoría cuántica de campos, los componentes del campo electromagnético son números q, en lugar de números c: no todos conmutan entre sí y sus conmutadores son en realidad singulares cuando no son cero (es decir, funciones delta), como lo es el caso generalmente con campos. Los valores esperados de estos números q en cualquier estado son cero, debido a las leyes de conservación, por lo que solo pueden representar fluctuaciones cuánticas (es decir, los valores esperados de las combinaciones cuadráticas de los componentes del campo generalmente no son cero). Los números q reales son combinaciones lineales (integrales, en realidad) de los operadores de aniquilación, un conjunto para cada vector 3 de número de onda.

En contraste, los estados coherentes son estados propios de los operadores de creación y aniquilación y producen resultados más sensibles, al tomar sus valores esperados. Aquí hay una referencia que analiza esto con más detalle y muestra una descomposición del campo del número q (del cual se puede leer directamente el valor esperado en un estado coherente):

SJ van Enk, "Estados coherentes, divisores de haz y fotones" (Notas de clase)
https://pages.uoregon.edu/svanenk/solutions/NotesBS.pdf

Como ejercicio, es posible que desee escribir los componentes del campo electromagnético, como en la parte 7 de la referencia y aplicarlos a un estado coherente (como los descritos en la parte 6) y determinar si satisface o no las ecuaciones de Maxwell en el vacío. El resultado debería ser el mismo que la expansión de modo para el campo electromagnético, con los operadores de creación y aniquilación reemplazados por pares de función conjugada.

Este sigue siendo un tren de ondas infinito, pero puede superponer estados coherentes para obtener paquetes de ondas localizados en el espacio (p. ej., paquetes de ondas gaussianas). Entonces surge el tema de la dispersión en el tiempo.

Otra referencia que analiza dos estados coherentes de fotones es:

Horace P. Yuen, "Estados coherentes de dos fotones del campo de radiación", Physical Review A, volumen 13, número 6, junio de 1976
https://journals.aps.org/pra/pdf/10.1103/PhysRevA.13.2226

que aparentemente, en el momento de escribir este artículo, es de libre acceso.

El artículo de Wikipedia sobre Estados Coherentes:

https://en.wikipedia.org/wiki/Coherent_state

ilustra tanto el campo eléctrico de un estado coherente dado como su fluctuación cuántica en diferentes números de fotones. La fluctuación cuántica del campo total, como proporción del propio campo, disminuye al aumentar el número de fotones, como se esperaba; y el campo llega a parecerse cada vez más al tren de ondas dado clásicamente.

Hay un resultado popular que afirma que "los fotones no se pueden localizar". En realidad, el resultado real cae en la misma categoría que la afirmación "la esfera no se puede coordinar uniformemente". En geometría simpléctica, tanto en física clásica como en forma cuantizada, existen operadores de posición para fotones, con una salvedad menor. La geometría simpléctica de los fotones cae dentro de la categoría de lo que podría llamarse "luxones helicoidales"; es decir, luxones cuyo momento angular se encuentra en un eje paralelo a su momento, siendo su helicidad un invariante.

El Teorema de Darboux asegura que todas las geometrías simplécticas puedan representarse localmente en un conjunto de pares de coordenadas conjugadas (p,q). Al igual que los luxones de espín 0 (y también los tardiones de espín 0 e incluso los taquiones de espín 0), se pueden representar mediante 3 pares de coordenadas, lo que contrasta con los tardiones de espín distintos de cero, que tienen 4 (el cuarto, que cuando se cuantifica, corresponde a la coordenada m en la representación habitual del momento angular). Un operador de posición para luxones helicoidales involucra 3 conjuntos de pares de coordenadas complementarios que cubren la mayor parte, pero no toda, la geometría simpléctica subyacente y, cuando se cuantifica, satisface las mismas relaciones de Heisenberg que las coordenadas de partículas. La situación es análoga a cómo se coordina el monopolo magnético (que se describe en la Sección 8.2 "Monopolos magnéticos" en LNP 188 "

Un ejemplo donde se usa el operador de posición es:

Hawton, Margarita; Baylis, William E. "Momento angular y el indicador geométrico de los estados de fotones localizados" https://www.osti.gov/biblio/20650498-angular-momentum-geometrical-gauge-localized-photon-states

En general, el tema de la localización de fotones parece ser un tema de debate activo en la literatura, pero es tan nuevo para mí como para usted. Una breve búsqueda, por ejemplo, descubre lo siguiente:

Ayman F. Abouraddy, Giovanni Di Giuseppe, Demetrios N. Christodoulides y Bahaa EA Saleh
"Localización y colocalización de Anderson de fotones espacialmente entrelazados"
Rapid Communications, Physical Review A 86, 040302(R) (2012)

mientras que la localización de Anderson se analiza con más detalle aquí:

https://en.wikipedia.org/wiki/Anderson_localización

Más allá de esto, y sobre el tema más general de la localización, no puedo decir mucho.