Hamiltoniano no relativista más general para átomo hidrogenado en campo electromagnético cuantificado

Question

Hamiltoniano no relativista más general para átomo hidrogenado en campo electromagnético cuantificado

Cuántico

En muchos libros de texto, la derivación de los niveles de energía en un átomo de hidrógeno comienza con el hamiltoniano básico $H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} + \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\mathbf{r}}$ y luego agrega estructura fina relativista o estructura hiperfina como correcciones a estos niveles básicos de energía. El efecto de un campo electromagnético se incluye a menudo modificando el hamiltoniano para $H = \frac{\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)^2}{2m} + e \phi$ para potenciales electromagnéticos $\mathbf{A}$ y $\phi$ .

Lo que encuentro extraño de este enfoque es que, desde el principio, la interacción entre el protón y el electrón es electrostática (por lo que requiere la presencia de un campo electromagnético), entonces, ¿por qué el campo electromagnético cuantizado solo se agrega más tarde y no justo al principio? Además, la energía de los espines de las partículas en un campo magnético externo no parece estar incluida en este tratamiento.

Lo que me pregunto es lo siguiente: si no comenzamos con el hamiltoniano básico y agregamos todos los términos más tarde, sino que nos proponemos derivar de los primeros principios los niveles de energía para un protón y un electrón (ligado) en un campo electromagnético cuantificado (generado por protón y electrón, sino también por la radiación externa que podría estar presente), ¿cuál es el hamiltoniano que describe este sistema? El protón y el electrón deben considerarse no relativistas, por lo que deben considerarse cuantificados en el sentido de que los observables deben ser operadores, pero sin la necesidad de la teoría cuántica de campos para describir el protón y el electrón. ¿Cómo podrían entonces incluirse perturbativamente los efectos relativistas en este tratamiento general?

EDITAR: solo para aclarar, la situación que me interesa es la siguiente: dos partículas no relativistas (protones y electrones) cargadas y portadoras de espín se mueven bajo la influencia de un campo eléctrico interno que surge de sus cargas y un campo externo debido a la radiación. Ambas partículas deben incluirse en el hamiltoniano, por lo que el protón también tendrá un acoplamiento con cualquier campo electromagnético. Preguntas: ¿Cómo se trata el campo interno como un campo electromagnético cuantificado, que conduce a una energía potencial? ¿A qué términos del hamiltoniano conduce la interacción con el campo externo? ¿Cuál es, por tanto, el hamiltoniano más general para un sistema protón-electrón no relativista que se mueve en un campo electromagnético cuantificado?

Sería muy útil cualquier referencia a libros de texto o artículos de revistas con un tratamiento detallado del hamiltoniano más general y (dentro de los límites de ignorar los efectos relativistas) más exacto que describa dicho sistema.

mateo

¿Qué quiere decir: "entonces, por qué el campo electromagnético cuantificado solo se agrega más tarde y no justo al principio?" Si lo hice bien, el campo EM agregado mediante un acoplamiento mínimo es un campo externo que perturba el sistema. Interesante la pregunta sobre el giro.

Cuántico

Según tengo entendido, los campos electromagnéticos

E

$\mathbf{E}$ y

B

$\mathbf{B}$ (o los potenciales correspondientes

A

$\mathbf{A}$ y

ϕ

$\phi$ ) deben tratarse como campos cuantificados (es decir, representados por operadores con relaciones de conmutación apropiadas), independientemente de su causa. La interacción entre el protón y el electrón implica un campo electromagnético (para ser precisos, un campo eléctrico), por lo que hubiera esperado ver un operador de campo correspondiente en el hamiltoniano para la interacción protón-electrón.

Respuestas (2)

Hamiltoniano no relativista más general para átomo hidrogenado en campo electromagnético cuantificado

¿Qué quiere decir: "entonces, por qué el campo electromagnético cuantificado solo se agrega más tarde y no justo al principio?" Si lo hice bien, el campo EM agregado mediante un acoplamiento mínimo es un campo externo que perturba el sistema. Interesante la pregunta sobre el giro.
Según tengo entendido, los campos electromagnéticos $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ (o los potenciales correspondientes $\mathbf{A}$ y $\phi$ ) deben tratarse como campos cuantificados (es decir, representados por operadores con relaciones de conmutación apropiadas), independientemente de su causa. La interacción entre el protón y el electrón implica un campo electromagnético (para ser precisos, un campo eléctrico), por lo que hubiera esperado ver un operador de campo correspondiente en el hamiltoniano para la interacción protón-electrón.

usuario154997 · Answer 1

Creo que lo que quiere es comenzar con la ecuación de Dirac, encontrar el límite no relativista, que es básicamente la ecuación de Pauli , más el acoplamiento espín-órbita , más el término de Darwin . La forma clásica de hacerlo es a través de la transformación de Foldy-Wouthuysen [FW50]. El documento requiere un poco de esfuerzo adicional para leer porque usan notaciones anticuadas para la maquinaria de Dirac pero manejables de memoria. Cité las páginas de Wikipedia principalmente para la bibliografía, ya que no las encuentro particularmente fáciles de aprender.

En cualquier caso, la respuesta final es una serie en $v/c$ , cuyos términos clásicos están dados por el siguiente hamiltoniano, tomado del libro de texto clásico de Cohen-Tannoudji, Diu y Laloë [CTDL77, capítulo 12, apéndice B, eqn (BI)]:

H = {metro}_{mi} C^{2} + \underset{clásico}{\underset{⏟}{\frac{{PAG}^{2}}{2 {metro}_{mi}} + V}} \underset{impulso relativista}{\underset{⏟}{- \frac{{PAG}^{4}}{8 {metro}_{mi}^{3} C^{2}}}} + \underset{órbita de giro}{\underset{⏟}{\frac{1}{2 {metro}_{mi}^{2} C^{2}} \frac{1}{R} \frac{\partial V}{\partial r} L \cdot S}} + \underset{Darwin}{\underset{⏟}{\frac{ℏ^{2}}{8 {metro}_{mi}^{2} C^{2}} Δ V}}

$H = m_ec^2 + \underbrace{\frac{P^2}{2m_e} + V}_\text{classic} \underbrace{- \frac{P^4}{8m_e^3c^2}}_\text{relativistic momentum} + \underbrace{\frac{1}{2m_e^2c^2}\frac{1}{R}\frac{\partial V}{\partial r}L\cdot S}_\text{spin orbit}+\underbrace{\frac{\hbar^2}{8m_e^2c^2}\Delta V}_\text{Darwin}$

En presencia de un campo electromagnético $A$ , la receta es $P\to P-eA$ , y luego el término extra

- 2 m_{B} \frac{1}{ℏ} S \cdot B .

$-2\mu_B \frac{1}{\hbar}S\cdot B.$

Esta corrección debe usarse para tener en cuenta el campo magnético del momento magnético del protón, en realidad.

Finalmente, está la contribución del propio campo electromagnético. Este es un término muy simple en realidad, solo el equivalente de una suma de oscilador armónico, uno por modo de fotón,

H_{mi metro} = \sum_{i} ℏ ω_{i} (a_{i}^{+} a_{i} \frac{1}{2}) .

$H_{em} = \sum_i\hbar\omega_i\left(a_i^+a_i\frac{1}{2}\right).$

Así que aquí, $a_i^+$ es un operador de creación y $a_i$ es un operador de destrucción, tanto para un fotón como para un vector de onda $k_i$ , energía $\omega_i$ , y helicidad $\epsilon_i$ , perpendicular a $k_i$ : este es el punto de usar el calibre de Colomb, desacopla completamente el tiempo y los grados de libertad longitudinales de los fotones, que luego pueden ignorarse.

[FW50] Leslie L. Foldy y Siegfried A. Wouthuysen. Sobre la teoría de Dirac de las partículas de espín 1/2 y su límite no relativista. física Rev., 78:29–36, abril de 1950.

[CTDL77] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu y Franck Laloë. Mecánica cuántica. Wiley, Nueva York, NY, 1977. Trans. de : M ́ecanique quantique. París: Hermann, 1973.

Esto explica la estructura fina y la estructura hiperfina, pero no incluye un campo electromagnético cuantificado. Para aclarar, supongo que mi pregunta es doble: 1) El electrón y el protón se modelan como partículas cargadas que llevan espín y se mueven bajo la influencia de un campo electromagnético. Este campo surge en parte debido a un campo interno creado por sus cargas. ¿Debería considerarse que este campo interno está cuantificado (y cómo surge de esto la energía potencial en el hamiltoniano)? 2) Otra parte del campo se debe a la radiación externa. ¿Cómo se incluye esto rigurosamente?
ah, ok, no mencionaste eso… bueno, en la medida de Coulomb, el hamiltoniano parecerá casi lo que ya he escrito más un término para el campo electromagnético, ¡pero se está haciendo tarde en la parte del mundo donde vivo! Entonces mañana…
En cualquier caso, el Foldy-Wouthuysen sigue siendo un ingrediente imprescindible.
Lo siento, se me pasó por la cabeza añadir algo sobre la radiación hamiltoniana.

caverna · Answer 2

Necesitarías resolver la ecuación de Dirac

(i ℏ γ^{m} \partial_{m} - metro C) ϕ = 0

$(i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu - mc)\phi = 0$

Aquí hay una referencia bastante buena sobre cómo hacerlo para el átomo de hidrógeno.

Conozco la ecuación de Dirac, pero mencioné en mi publicación que el tratamiento debe ser no relativista en lo que respecta al protón y el electrón como partículas y que debe considerar el campo electromagnético (ambos internos debido a la electrostática electrón-protón). potencial y externo debido a la radiación que puede estar presente) como un campo cuántico. Gracias por el enlace!

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