¿Qué son las órbitas "no keplerianas"? ¿Cuáles son algunos ejemplos familiares en nuestro sistema solar, y algunos aún pueden cerrarse?

1. ¿Qué son exactamente las órbitas "no keplerianas"?

Estrictamente hablando, ninguna órbita está en perfecto acuerdo con las leyes de Kepler. Las leyes de Kepler no son realmente "leyes" en términos de leyes físicas, sino tendencias que Kepler notó y calculó usando observaciones astronómicas de los planetas. Las leyes de Kepler son muy precisas para las órbitas planetarias, ya que utilizó observaciones planetarias muy precisas (para la época). Creo que Wikipedia establece las leyes de Kepler bastante bien:

1. La órbita de un planeta es una elipse con el Sol en uno de los dos focos.
2. Un segmento de línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.
3. El cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita.

Newton demostró que las leyes de Kepler describirían perfectamente el movimiento planetario utilizando una ley inversa del cuadrado r para la fuerza gravitatoria si la masa del planeta fuera insignificante con respecto a la masa del sol, si la única gravedad a la que estuviera sujeto el planeta fuera la del sol, y si el planeta no había alcanzado la velocidad de escape.

¿Significa eso que debemos dejar de usar las leyes de Kepler? ¡Diablos no! Son súper útiles para todo tipo de cosas. Como ejemplo, doy la única respuesta rigurosa a esta pregunta utilizando las leyes 2 y 3 de Kepler (en el párrafo justo antes de mis notas): si la Luna fuera impactada por un meteorito de tamaño adecuado, ¿cuánto tardaría en impactar la Tierra? . Esta pregunta estuvo presente durante más de un año, y muchas personas intentaron responder y fallaron (en mi opinión). ¡Mi solución es mucho menos complicada que otra respuesta física inteligente que asume que la fuerza gravitacional es constante solo para obtener un límite inferior!

Una órbita "no kepleriana" es una órbita en la que las leyes de Kepler carecen de poder predictivo y descriptivo. Si una pregunta sobre una órbita que requiere una precisión específica no se puede responder con la precisión requerida utilizando las leyes de Kepler, la órbita es 'no kepleriana' en el contexto de esa pregunta. Probablemente esta no sea una respuesta muy satisfactoria, especialmente porque la misma órbita podría considerarse kepleriana para una pregunta, pero no para otra. Desafortunadamente, esta es típicamente la forma en que se hace la ingeniería. Podemos hacer algunas suposiciones para llegar a una respuesta y luego refinar esa respuesta invirtiendo esas suposiciones o usando un modelo más sofisticado. Cuando las leyes de Kepler no nos dan la precisión requerida, podemos pasar a simulaciones de propagación en órbita.

¡Las leyes de Kepler fueron escritas específicamente para el movimiento de los planetas alrededor del sol! Entonces, se podría argumentar que una órbita lunar alrededor de un planeta no es una órbita de Kepler, aunque las leyes de Kepler aún pueden ser muy precisas si reemplaza "planeta" con "luna" y luego reemplaza "sol" con "planeta". Prefiero argumentar que cualquier sistema orbital es "kepleriano" si las leyes de Kepler aún describen con precisión los movimientos de los objetos.

Las leyes de Kepler no incluyen el concepto de baricentro (centro de masa del sistema). Entonces se degradan para órbitas de 2 cuerpos cuando no hay mucha diferencia entre su masa. Un comentario a continuación dice que un sistema estelar binario es un 'ejemplo casi perfecto del comportamiento kepleriano', pero no estoy de acuerdo. Uno tiene que generalizar las leyes de Kepler para describir con precisión el movimiento de las estrellas binarias:

a) Los cuerpos en órbita se mueven en órbitas elípticas alrededor del baricentro del sistema.

b) Un segmento de recta entre el baricentro y un cuerpo barre áreas iguales en el mismo tiempo.

c) El cuadrado del período orbital de un cuerpo es proporcional al cubo de su distancia media al baricentro.

Aquí hay una tabla que hice para acompañar mi definición de órbitas no Keplerianas:

2. ¿Cuáles son algunos ejemplos familiares de nuestro sistema solar claramente no kepleriano?

Creo que el ejemplo más fácil de una órbita en su mayoría no kepleriana es el telescopio James Webb que pronto estará en el punto L2 de la Tierra: https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_point . La tercera ley de Kepler establece que la relación entre el cubo de la órbita SMA (semieje mayor) y el cuadrado del período orbital es constante para todo lo que orbita alrededor del mismo cuerpo masivo. Pero algo en el punto L2 de la Tierra tiene el mismo período orbital que la Tierra, pero una SMA mucho más grande. Se viola la tercera ley de Kepler, por lo que el telescopio James Webb estará en una órbita no kepleriana. Si desea una órbita más exótica y una órbita natural en su mayoría no kepleriana, eche un vistazo a esta extraña órbita para un asteroide coorbital de Júpiter retrógrado: http://www.astro.uwo.ca/~wiegert/2015BZ509/ Esta es una ejemplo de una órbita problema de 3 cuerpos.

3. ¿Qué son las órbitas cerradas?

Una órbita cerrada es aquella que se repite en un sistema de coordenadas inercial con el origen en el centro de masa del cuerpo más masivo. Si no especifica un sistema de coordenadas, puedo decir que la órbita de cualquier objeto se cierra especificando un sistema de coordenadas con ese objeto siempre en el origen.

4. ¿Todavía se pueden cerrar algunas órbitas no keplerianas?

Sí, los dos ejemplos de órbita dados anteriormente son lo suficientemente cerrados. Oumuamua es un ejemplo de una órbita solar "no cerrada" "no kepleriana". https://en.wikipedia.org/wiki/%CA%BBOumuamua

¿Qué son exactamente las órbitas "no keplerianas"?

Órbitas que no siguen las leyes de Kepler.

Estrictamente hablando, todas las órbitas son no keplerianas. En la práctica, se pueden modelar algunas órbitas básicamente como Keplerian, pero con perturbaciones. Los satélites sincrónicos con el sol son un ejemplo de órbitas que están cerca de Keplerian, pero no tanto. El abultamiento ecuatorial de la Tierra hace que los satélites no puedan orbitar en un plano. Los satélites sincrónicos solares aprovechan la precesión inducida por el abultamiento ecuatorial de la Tierra para que sus órbitas tengan una precesión de 360° en un año. El ejemplo de Connor García de satélites en pseudoórbitas sobre los puntos de Lagrange lineales Sol-Tierra forman otro conjunto de ejemplos.

¿Cuáles son algunos ejemplos familiares de órbitas claramente no cerradas en nuestro sistema solar?

Cada planeta, cada luna, cada asteroide,...

¿Qué son las órbitas cerradas?

Las órbitas enlazadas son órbitas que permanecen unidas a algún objeto central. Las trayectorias parabólicas e hiperbólicas no están limitadas. Las órbitas cerradas son órbitas enlazadas que repiten su camino. Cualquier ley de fuerza central atractiva puede dar como resultado órbitas circulares. Estos son trivialmente cerrados. Solo hay dos leyes de fuerza central atractiva que pueden dar como resultado órbitas no circulares cerradas: una ley del cuadrado inverso (p. ej., la gravitación newtoniana) y una ley de fuerza lineal (p. ej., un resorte de Hooke). Este es el teorema de Bertrand .

¿Cuáles son algunos ejemplos familiares de órbitas claramente no keplerianas en nuestro sistema solar?

Cada planeta, cada luna, cada asteroide,...

¿Todavía se pueden cerrar algunas órbitas no keplerianas?

Aparte de un resorte Hookean, no.

Prefacio:

En todos los sistemas de coordenadas existentes que conozco, ninguna órbita es estrictamente kepleriana. Pero quizás en un sistema de coordenadas centrado en la Tierra, se podría decir que la órbita de la Tierra está cerrada, ya que la Tierra, por definición, no se mueve en [0,0,0].

A lo largo de la historia, los CS (sistemas de coordenadas) han sido una gran manzana de la discordia. Einstein dijo:

¿Podemos formular leyes físicas para que sean válidas para todos los CS?... La lucha, tan violenta en los primeros días de la ciencia, entre las opiniones de Ptolomeo y Copérnico carecería entonces de sentido. Cualquier CS podría usarse con la misma justificación. Las dos oraciones, 'el sol está en reposo y la Tierra se mueve', o 'el sol se mueve y la Tierra está en reposo', simplemente significarían dos convenciones diferentes relativas a dos CS diferentes.

En un nivel práctico, creo que es conveniente tratar algunas órbitas como keplerianas, ya que podemos responder muchas preguntas de manera rápida y precisa al 'reverso de la servilleta' usando las leyes de Kepler. Inspirándome en Ptolomeo, Kepler y Einstein, me preguntaba si podría imaginarse un sistema de coordenadas en el que cada órbita fuera perfectamente kepleriana y cerrada. El siguiente es el resultado:

La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es kepleriana y cerrada.

Para rastrear y cuantificar el movimiento de los objetos celestes, definimos sistemas de coordenadas. Nuestra elección del sistema de coordenadas generalmente se hace para facilitar la complejidad del cálculo para un problema en particular. Por ejemplo, los cálculos de satélites de la Tierra a menudo se realizan en un sistema de coordenadas ECI (Earth Centered Inertial). Eso significa que el origen del sistema es el centro de la Tierra, y la Tierra gira en su lugar alrededor del origen. Este es un sistema conveniente para estudiar el movimiento de los satélites terrestres, ya que es consistente con las leyes de Kepler para los satélites terrestres, incluida la Luna. ICE:

En algunos casos, es conveniente utilizar un sistema de coordenadas ECEF (Earth Centered Earth Fixed). Este sistema de coordenadas fija la rotación de la Tierra, por lo que los ejes no cambian con respecto a la superficie terrestre. Este es un sistema conveniente para el lanzamiento espacial ya que las coordenadas de los sensores basados ​​en la Tierra no cambian. ECEF:

Podemos definir un sistema de coordenadas llamado ECMF (Earth Centered Moon Fixed). En este sistema de coordenadas, configuramos el eje x para que coincida con el vector de la Tierra a la Luna. A medida que la Luna gira alrededor de la Tierra, todo el sistema de coordenadas se mueve con ella. Los ejes z e y están desplazados 90 grados y se encuentran en el plano ortogonal al vector de la Tierra a la Luna.

Para 'fijar la Luna' en nuestro sistema de coordenadas ECMF, tenemos que tener en cuenta las variaciones en la distancia lunar debido a la excentricidad de la órbita. Si cambiamos de coordenadas cartesianas a coordenadas polares, vemos que podemos hacer que r, la distancia de la Tierra a la Luna, sea igual a$k=500,000km$. ECMF (no a escala):

La transformación de coordenadas de ECEF a ECMF depende de las coordenadas polares de la luna en ECEF en el momento$t$: [$\lambda$,$\phi$,$r$]. Para traducir un punto$P = \alpha, \beta, d$de ECEF a ECMF,$\alpha’=\alpha-\lambda$,$\beta’=\beta-\phi$, y$d’=d*k/r$. Tenga en cuenta que la posición de la luna [$\lambda$,$\phi$,$r$] en ECEF siempre se convierte en$[0,0,k]$en ECMF.

El sistema de coordenadas ECMF tiene algunas cualidades realmente malas. Estira de manera no uniforme el resto del universo en función del tiempo. ¡Dependiendo de la dirección, la luz ya no viaja en línea recta! Las formas regulares en ECEF se vuelven irregulares en ECMF. El eje z se desplaza irregularmente del eje de rotación de la Tierra dentro del rango de inclinación de la Luna desde el plano ecuatorial. Todo tipo de cosas malas suceden en ECMF.

Desde el sistema de coordenadas ECMF, podemos hacer otro sistema de coordenadas llamado sistema ECMFDR (Earth Centered, Moon Fixed Distance, Rotating). Este sistema de coordenadas simplemente rota el sistema ECMF alrededor del eje z' de modo que una revolución completa toma 1 año, o$p$. Para trasladar un punto P =$\alpha', \beta', d'$de ECMF a ECMFDR,$\alpha’’=\alpha’$,$\beta’’=\beta’+2\pi(t-t_0)/p$, y$d’’=d’$. ECMFDR (no a escala):

En nuestro sistema ECEF habitual, la órbita de la luna no es del todo kepleriana. En cambio, está perturbado por la forma irregular de la Tierra, está perturbado por otros cuerpos gravitatorios en el sistema solar y está girando lentamente en espiral hacia afuera, alejándose de la Tierra. En el sistema ECMFDR, la luna está, por definición y construcción, en una órbita perfectamente circular que es tanto una órbita de Kepler como una órbita cerrada.

Si podemos crear este sistema de coordenadas para la Tierra y la Luna, entonces podemos generalizarlo a cualquier par de cuerpos en órbita.

Cada órbita es Kepleriana: Considere un cuerpo$b_2$en órbita alrededor de un cuerpo$b_1$. Para un tiempo en particular$t_0$, defina un sistema de coordenadas con un origen en el centro de masa de$b_1$, con el centro de masa de$b_2$en$[0,\sin(2\pi (t-t_0)/p),k]$, dónde$p$es un año y$k$es una AU.

Entonces$b_2$orbita alrededor$b_1$es kepleriana porque cumple con las 3 leyes de Kepler,

1. $b_2$La órbita de traza una elipse (ya que traza un círculo y un círculo es una elipse).

2. un segmento de$b_1$a$b_2$barre áreas iguales en tiempos iguales (ya que la distancia entre$b_1$y$b_2$es siempre 1 AU,$b_1$es fijo, y$b_2$mantiene una velocidad constante)

3. Todas las órbitas alrededor$b_1$tienen la misma razón del cuadrado de la SMA dividido por el cubo del periodo, ya que todas las órbitas tienen una SMA de 1 UA y un periodo de un año.

Toda órbita está cerrada. Las órbitas keplerianas son órbitas cerradas porque una órbita kepleriana traza una forma cerrada (la elipse). Dado que toda órbita es una órbita kepleriana, toda órbita es una órbita cerrada.