¿Por qué el punto L1 (Lagrange) está a casi 1 millón de millas de la Tierra? ¿No debería estar más cerca de nosotros?

Si divides 333.000 entre 10.000, obtienes 33,3, lo que significa que el Sol debería estar tirando de un objeto colocado en L1 con más de treinta veces la fuerza que la Tierra....

No es así como se definen los puntos de Lagrange.

Hay un punto en algún lugar entre el Sol y la Tierra donde la aceleración gravitacional de algún objeto hacia el Sol es exactamente igual en magnitud pero de dirección opuesta a la gravitación de ese objeto hacia la Tierra. denotar$G$como la constante gravitatoria newtoniana,$M$como la masa del Sol,$m$como la masa de la Tierra,$R$como la distancia entre la Tierra y el Sol, y$r$como la distancia entre la Tierra y el punto en cuestión, esta viene dada por

$$\frac{G M}{(R-r)^2} = \frac{G m}{r^2}$$ el resultado es que$r$es de aproximadamente 258810 km, o aproximadamente 2/3 de la distancia entre la Tierra y la Luna.

Tenga en cuenta que esto significa que la aceleración gravitacional de la Luna hacia el Sol es más del doble de la aceleración gravitacional de la Luna hacia la Tierra. (Algunos usan este hecho como argumento de que la Luna orbita alrededor del Sol en lugar de la Tierra. La fuerza no es una buena métrica para determinar si el cuerpo$c$orbita el cuerpo$a$o cuerpo$b$. La Luna gira alrededor de la Tierra.)

Veré el problema circular restringido de tres cuerpos. El problema de los tres cuerpos en general analiza cómo interactúan tres cuerpos sujetos a una fuerza gravitatoria mutua (y nada más). El problema restringido de los tres cuerpos limita la investigación a los casos en los que uno de los tres cuerpos tiene una masa tan pequeña en comparación con los otros dos que este tercer cuerpo esencialmente no tiene ningún efecto sobre el comportamiento de los dos cuerpos primarios. El problema circular restringido de tres cuerpos (CR3TB para abreviar) restringe las cosas aún más: se supone que los dos cuerpos primarios están en órbitas circulares entre sí en el problema circular restringido de tres cuerpos.

Puede ser útil mirar las cosas desde la perspectiva de un marco de referencia giratorio para comprender el concepto de los puntos de Lagrange. Este marco tiene su origen en el centro de masa de los dos objetos primarios, tiene su eje de rotación igual al eje de rotación del eje del momento angular orbital de los dos cuerpos, y gira a la misma velocidad a la que los dos cuerpos orbitan unos a otros.

Los dos cuerpos primarios tienen ubicaciones fijas desde la perspectiva de este marco giratorio. Esto plantea una pregunta interesante: ¿hay algún punto en el que se pueda colocar el tercer cuerpo (el cuerpo con masa despreciable) que también tendrá una ubicación fija desde la perspectiva de este marco giratorio? La respuesta es sí. Hay cinco de esos puntos, estos son los puntos de Lagrange. Los cinco se encuentran en el plano orbital de los dos cuerpos primarios. Tres son colineales con los dos cuerpos primarios. Los otros dos forman triángulos equiláteros con los dos cuerpos primarios.

Veré L ₁ , el punto de Lagrange colineal que se encuentra entre los dos cuerpos primarios. voy a denotar

• $M$como la masa del cuerpo primario más grande,
• $m$como la masa del cuerpo primario más pequeño,
• $R$como la distancia entre los dos cuerpos primarios,
• $d$como la distancia entre el cuerpo primario más grande y el centro de masa de los dos cuerpos primarios,
• $\omega$como la velocidad angular de la órbita de los dos cuerpos primarios uno alrededor del otro, y
• $r$como la distancia entre el cuerpo primario más pequeño y el punto L ₁ .

Este es un marco que gira uniformemente, por lo que sus puntos estarán sujetos a aceleraciones centrífugas y de Coriolis. La aceleración de Coriolis se desvanece para un tercer cuerpo estacionario, dejando tres aceleraciones que deben sumar cero para encontrar la ubicación de ese punto estacionario:

$$(R-d-r)\,\omega^2 - \frac{GM}{(R-r)^2} + \frac{Gm}{r^2} = 0 \tag{1}$$ De la mecánica newtoniana,$d=R\frac m{M+m}$. denotar$\frac{m}{M+m}$como$\mu$da como resultado$d=R\mu$. Usando el hecho de que$\omega^2=\frac{G(M+m)}{R^3}$(también de la mecánica newtoniana) y denota$x=\frac{r}{R}$, la ecuación (1) se puede reescribir como $$(1-\mu-x)\,(1-x)^2\,x^2 - (1-\mu)\,x^2 + \mu\,(1-x)^2 = 0\tag{2}$$

En el caso del punto Sol-Tierra L ₁ (o más precisamente, el baricentro Sol - Tierra-Luna L ₁ punto), esto resulta en$x\approx 0.0100109943$. Dada la escala, este es el valor de$x$está en unidades astronómicas. Conversión a rendimientos métricos$r$es aproximadamente 1,497623 millones de kilómetros, o alrededor de 930580 millas.

PD: ¿Está L2 exactamente tan lejos de nosotros como L1? O solo aproximadamente?

Sólo aproximadamente. La ecuación equivalente a la ecuación (2) para el punto L ₂ es

$$(1-\mu+x)\,(1+x)^2\,x^2 - (1-\mu)\,x^2 - \mu\,(1+x)^2 = 0\tag{3}$$ La verdadera solución es$x\approx0.0100782578$, un poco más grande que la solución para el punto L ₁ . La ecuación (3), como la ecuación (2), es una ecuación quíntica. Ambas ecuaciones tienen cuatro raíces complejas y una raíz real para$0<\mu<1$. Las soluciones reales están muy cerca unas de otras. Sin embargo, el punto Sol-Tierra L ₂ está un poco más lejos de la Tierra que el punto Sol-Tierra L ₁ .

Las ecuaciones quínticas son desagradables. Como muchas quínticas, las ecuaciones (2) y (3) solo pueden resolverse mediante métodos numéricos. Hay una ecuación cúbica que produce un valor aproximado común para la distancia desde la Tierra hasta el punto Sol-Tierra L ₂ y el punto Sol-Tierra L _{1 .}