¿Qué significa tener un polo o un cero en el infinito?

Los polos al infinito se obtienen cuando el orden del numerador es mayor que el del denominador. Considere una función de transferencia G(s) con un numerador de orden n y un denominador de orden m, y con n>m. Habrá n ceros finitos y m polos finitos y, como s->infinito, los m polos cancelarán m de los ceros del numerador dejando (nm) ceros, por lo tanto G(s) -> infinito y habrá (nm) polos en el infinito

por ejemplo, G(s)=(s+a) tiene un cero finito en s=-a y un polo en s=infinito

Por el contrario, si el denominador es de orden superior al numerador (como debe ser el caso de un sistema físicamente realizable), m>n, entonces habrá (mn) ceros en el infinito.

por ejemplo, G(s)=1/(s+b) tiene un polo finito en s=-b y un cero en s=infinito; G(s)=(s+a)/s(s+b) tiene polos finitos en s=0 y s=-b, un cero finito en s=-a y un cero en s=infinito

En términos de diseño, el lugar geométrico de las raíces a menudo encuentra aplicación. Por lo general, rastrea el lugar geométrico de los polos en bucle cerrado a medida que la ganancia de la trayectoria directa, K, aumenta de cero a infinito. El lugar geométrico puede tener varias ramas y estas comienzan en los polos finitos en lazo abierto y terminan en los ceros en lazo abierto; pero si hay más polos que ceros (como es habitual), las ramas sobrantes que no pueden encontrar un cero finito para terminar se moverán a ceros en el infinito.

Es esclarecedor determinar la respuesta de frecuencia gráficamente utilizando el plano s complejo. Para hacer esto, se grafican los polos y ceros finitos, luego para encontrar la ganancia (y el ángulo de fase) en cualquier frecuencia dada, w, dibuje vectores desde el punto s=jw en el eje imaginario, a todos los polos y ceros y la ganancia será el producto de las longitudes de los vectores cero dividido por el producto de las longitudes de los vectores polares. El ángulo de fase será la suma de todos los ángulos formados por los vectores cero menos la suma de todos los ángulos formados por los vectores polares. Si no hay ceros finitos (p. ej., G(s)=K/(s+a)), utilice K para la longitud del vector y 0 para el ángulo.

Entonces, por ejemplo, si hay un polo en el eje jw en, digamos, s=jw1, entonces a medida que w aumenta desde 0, la longitud del vector de s=jw a s=jw1 disminuirá hasta que, cuando w = w1 , la longitud del vector será cero y la ganancia del TF será infinita. Esto es resonancia y, dado que el polo está en el eje imaginario, la respuesta es infinita a esta frecuencia. Si el poste está ligeramente fuera del eje imaginario, la longitud del vector no llegará a cero, sino que tocará fondo cuando la trayectoria lo pase en su viaje hacia arriba por el eje jw. Esto también es resonancia, pero el pico de resonancia no tiene una altura infinita ya que la longitud del vector nunca llega a cero. Cuanto más lejos esté el polo del eje jw, menor será el pico de resonancia. es decir, cuando los polos se mueven hacia la izquierda,

Supongamos que tenemos un sistema con respuesta del sistema de$H(s)$(es decir, la transformada de Laplace de la respuesta al impulso).

Entonces$H(s)$tiene un cero/polo en el infinito si la función

Si hay un polo en el infinito, esto significa que la respuesta de frecuencia$H(i\omega)$va al infinito por$\omega \to \infty$, lo que puede hacer que el sistema sea inestable. Un ejemplo es, por ejemplo, el diferenciador, que tiene una función de transferencia$s$y por lo tanto un polo en el infinito.

En respuesta a la excelente explicación de Chu, la ganancia, K, es igual al (producto de las longitudes de los polos/producto de las longitudes cero).

El valor que ha descrito como ganancia, en realidad define la magnitud M, con M = 1/K.