¿Qué significa "conservación del número de partículas" en la física de la materia condensada?

La conservación del número de partículas es una simetría del sistema. Como dijo Akshay Kumar en su respuesta , cuando el operador número de partículas conmuta con el hamiltoniano, se conserva. Simplemente significa, bueno, ese es el número de partículas que se conserva. Las partículas son todo lo que se discute en materia condensada (mejor decir cuasi - partículas en realidad), como electrones y huecos (ciertamente los más famosos, pero deberíamos decir cuasi-partículas de energía de excitación positiva y negativa relativa a la energía de Fermi si no eran perezosos: creo que la longitud de sus nombres exactos es suficiente para mantener electrón y huecoen el siguiente :-). Por lo tanto, debería estar bien saber si algunas (cuasi) partículas pueden o no salir de la nada . Afortunadamente, cuando se conserva el número de partículas, no aparecen de la nada , solo se pueden transmutar a partir de otra (cuasi) partícula. Eso es lo que sucede con la superconductividad: desaparecen dos electrones y emerge un par de Cooper (en una forma muy pictórica de hablar).

Ahora, para la superconductividad, es más fácil decir que conservará el número de partículas si su hamiltoniano es invariante con respecto a la transformación.

donde el$c$'s son los operadores fermiónicos, y$\theta$un angulo. Realmente,$\theta$se define mejor como el generador de la rotación U(1) . En particular, si su hamiltoniano (mejor dicho, un lagrangiano) es invariable con la operación de cambio de fase definida anteriormente, puede asociarle una corriente de Noether . Para la simetría de rotación U(1), la corriente conservada será la corriente de las partículas. En particular, para problemas independientes del tiempo (para simplificar, digamos), el número de partículas se conservará si su hamiltoniano es invariante bajo la transformación definida anteriormente.

El hamiltoniano BCS que describe la superconductividad convencional dice (descarto el término de un cuerpo y el giro por simplicidad: no cambian nada a las conclusiones a las que queremos llegar)

tal que al hacer la rotación U(1) no la cambia, ya que hay el mismo número de$c$que el número de$c^{\dagger}$operadores.

Por debajo de la temperatura crítica, aparece la nueva fase superconductora, caracterizada por un parámetro de orden que no desaparece ( es decir , el número de pares de Cooper, todavía en una forma pictórica de hablar, mejor dicho, el parámetro de brecha superconductora )

que se transforma bajo un cambio de fase U(1) como

ya que ahora hay dos$c$operadores no compensados ​​por algunos$c^{\dagger}$. Entonces, el parámetro de orden$\Delta$no es invariante bajo la simetría de transformación de fase U(1). Se dice que el estado fundamental de superconductividad no conserva el número de partículas .

Tenga en cuenta que:

• Decir que el número de partículas no se conserva es un abuso del lenguaje, ya que el número total de electrones es el mismo tanto en la fase normal como en la superconductora. La fase condensada (superconductora) simplemente no verifica la invariancia bajo la rotación U(1). Pero eso es cierto que algunos electrones están desapareciendo en cierto sentido. Como dije en la introducción: se transmutan en pares de Cooper (una vez más, esa es una forma pictórica de hablar).

• Tal mecanismo cuando el hamiltoniano verifica una simetría que su estado fundamental no verifica se denomina ruptura espontánea de simetría . La superconductividad es solo un ejemplo de tal mecanismo.

• $\Delta$permanece invariable bajo la rotación restringida$c\rightarrow e^{\mathbf{i}n\pi}c$con$n\in\mathbb{Z}$. Dado que solo hay dos elementos de rotación de este tipo$e^{\mathbf{i}n\pi}=\pm 1$, se dice que U(1) se ha roto a$\mathbb{Z}_{2}$(una notación elegante para el grupo de solo dos elementos).

Post-Scriptum: Dígame si necesita más explicaciones sobre alguna terminología. No sé por dónde empiezas y creo que mi respuesta es un poco abrupta para los jóvenes estudiantes.

Piense en escribir la ecuación para el operador numérico N en la imagen de Heisenberg. Ahora bien, si N conmuta con el hamiltoniano H, entonces la derivada temporal de N es 0, es decir, N se conserva.