¿Qué les sucede a los electrones cuando el metal se corta o se rompe?

Tal vez se pueda encontrar un comienzo de respuesta a su pregunta en la teoría de Lindhard . Considere un campo fermiónico

$$\Psi(\textbf{x},t)=\frac{1}{\Omega}\sum_{\textbf{k}_1,\textbf{k}_2}e^{\mathrm{i}(\textbf{k}_\alpha-\textbf{k}_\beta)\cdot\textbf{x}+\mathrm{i}(E_{\textbf{k}_\alpha}-E_{\textbf{k}_\beta})t/\hbar}a_{\textbf{k}_\alpha}^\dagger a_{\textbf{k}_\beta}$$ que describen electrones sin espín con estados individuales establecidos como ondas planas, es decir $E_{\textbf{k}_{\alpha,\beta}}=\frac{\hbar^2\textbf{k}_{\alpha,\beta}^2}{2m}$.

El objetivo de la teoría de Lindhard es estudiar cómo$\Psi(\textbf{x},t)$, o más precisamente la densidad de partículas$\rho(\textbf{x},t)=\Psi^\dagger(\textbf{x},t)\Psi(\textbf{x},t)$, reaccionar a una perturbación utilizando la teoría de la respuesta lineal .

Digamos que por$t<t'$el sistema de electrones está en equilibrio térmico. Tal estado de equilibrio se caracteriza por la temperatura$T$ y el potencial químico$\mu$, ya que estamos considerando un sistema abierto . En$t=t'$introducimos una perturbación potencial química local$\delta\mu(\textbf{x},t)$en el sistema. Puede ser cualquier cosa: agregar una partícula, inducir un defecto, por ejemplo, al comenzar a cortar su pieza de metal, etc. La única condición en$\delta\mu(\textbf{x},t)$es que debe ser lo suficientemente pequeño para que la interacción asociada hamiltoniana:

$$\mathcal{H}_i(t)=\int\mathrm{d}\textbf{x}\,\rho(\textbf{x})\delta\mu(\textbf{x},t)$$ puede tratarse perturbativamente en comparación con el sistema hamiltoniano no perturbado $\mathcal{H}_0$. Entonces la teoría de la respuesta lineal simplemente dice que tal perturbación induce una fluctuación en $\rho$. La función de respuesta asociada a menudo se da como: $$\chi(\textbf{x},\textbf{x}',t,t')=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\langle\left[\rho(\textbf{x},t),\rho(\textbf{x}',t')\right]\rangle_0\;\Theta(t-t')$$ dónde $\langle\cdot\rangle_0\equiv \mathrm{Tr}(f_0\;\cdot\;)$con $f_0=\left(e^{\mathcal{H}_0/k_BT}+1\right)^{-1}$la distribución de Fermi-Dirac (distribución de partículas en equilibrio térmico). $\Theta$representa la función de paso de Heaviside y está aquí para asegurar la causalidad de $\chi$.

Usando la expresión de$\Psi$, se puede calcular:

$$\chi(\textbf{x},\textbf{x}',t,t')=\frac{\mathrm{i}}{\Omega^2\hbar}\sum_{\textbf{k}_1,\textbf{k}_2}e^{\mathrm{i}(\textbf{k}_\alpha-\textbf{k}_\beta)\cdot(\textbf{x}-\textbf{x}')+\mathrm{i}(E_\alpha-E_\beta)(t-t')/\hbar}(f_0(E_\alpha)-f_0(E_\beta))$$ Se pueden extraer características más interesantes si realiza la transformada de Fourier en el espacio-tiempo: $$\chi(\textbf{q},\omega)=\frac{\mathrm{i}}{\Omega^2\hbar}\sum_{\textbf{k}}\frac{f_0(E_{\textbf{k}+\textbf{q}})-f_0(E_{\textbf{k}})}{\omega+E_{\textbf{k}+\textbf{q}}-E_{\textbf{k}}+\mathrm{i}0^+}$$ con $\textbf{q}=\textbf{k}_\alpha-\textbf{k}_\beta$. Entonces, si está interesado en la respuesta local del sistema electrónico (espacialmente local $\textbf{q}\rightarrow 0$y temporalmente locales $\omega\rightarrow 0$), se puede demostrar que: $$\chi(\textbf{q},\omega\sim 0)\underset{\textbf{q}\rightarrow 0}{\sim}\sum_{\textbf{k}}\frac{\partial f_0}{\partial E_{\textbf{k}}}$$ que es independiente de $\textbf{q}$ y $\omega$. Es decir, al regresar en notaciones de espacio y tiempo real: $$\chi(\textbf{x},\textbf{x}',t,t')\sim\delta(\textbf{x}-\textbf{x}')\delta(t-t')$$ Lo que obtenemos muestra que la respuesta de un sistema electrónico a una perturbación externa es muy rápida (la $\delta(t-t')$parte) y muy local (la $\delta(\textbf{x}-\textbf{x}')$parte) de modo que no existe realmente el tiempo típico para redistribuir la fluctuación de densidad en un sistema electrónico. Esto se debe al hecho de que el cribado Thomas-Fermi es muy eficiente.

Los electrones de un metal pueden describirse sorprendentemente bien como un gas de electrones libres . Así que déjame reformular tu pregunta como:

Si tomo un recipiente con gas y rápidamente lo divido en dos, ¿la presión será la misma en ambos lados?

Si observamos un gas a escala atómica, es una masa de átomos/moléculas que giran al azar. Entonces, a gran escala, la densidad será la misma en todas partes, pero a escala atómica obtenemos variaciones de presión aleatorias. Entonces, cuando divide el contenedor de gas, es muy poco probable que la densidad numérica de las moléculas de gas sea exactamente la misma en ambos lados, y esperaríamos una diferencia de presión aleatoria. Sin embargo, es extremadamente improbable que la diferencia de presión sea lo suficientemente grande como para ser medible.

Lo mismo se aplica a su metal. El movimiento de los electrones en su interior es aleatorio, al igual que las moléculas en un gas, por lo que cuando rompa el metal habrá una pequeña diferencia en la densidad de los electrones en los dos lados de la ruptura. Sin embargo, la diferencia será demasiado pequeña para medirla.