¿Qué fórmula para los números f es correcta: f/D o 1/(2NA)?

He visto dos definiciones diferentes para el número f de una lente de uso general. ¿Son consistentes?

Supongo que los sujetos están distantes (no macro, el aumento es pequeño) y tenemos una lente corregida por coma y aberración esférica.

Me refiero al número f en el sentido de que indica el brillo de una lente que no tiene pérdidas internas.

La definición 1/(2 * Numerical_Aperture) lleva a f/0.5 como límite; la definición f/D no lo hace.

Estaba viendo: Sensores de imagen y procesamiento de señales para cámaras fijas digitales por Junichi Nakamura

Anexo - Intento de aclarar:

Mi experiencia: tengo títulos en matemáticas, con un sesgo en física aplicada, por lo que entiendo las identidades y aproximaciones trigonométricas, aunque mi trabajo no usa mucho de mi educación matemática.

No he estudiado óptica formalmente desde la escuela secundaria con lentes esféricos delgados.

Como fotógrafo, entiendo el uso diario de los números f al fotografiar sujetos que no son macro, y que los números T a veces son más relevantes. Soy consciente de los cambios en el número f efectivo en los casos de macro, pero realmente no hago macro.

Confusión y pregunta:

La pregunta se refiere a lentes fotográficos al menos algo corregidos por coma y aberración esférica, enfocados cerca del infinito, con aumento insignificante, pérdidas internas insignificantes, en un medio de índice de refracción cercano a 1, en puntos del sensor cerca del eje de la lente.

La fórmula más común dada para el número f es: N = f/D

Las fórmulas para el número f que involucran la apertura numérica ("NA"), combinadas con fórmulas para la apertura numérica, a veces parecen dar resultados para el número f ("N") que difieren de N = f/D cuando f/D es pequeño (digamos número f < 2).

¿Cómo deben reconciliarse estos resultados contradictorios?

El enfoque NA deja en claro que hay un límite inferior en el número f, en 0,5, porque el ángulo del cono de la luz que incide en el centro del sensor no puede exceder los 180 grados. Ese límite inferior no queda inmediatamente claro a partir de la fórmula N = f/D.

Mi confusión es para números f pequeños por encima de este límite de f/0.5.

Como dije, no sé mucho de óptica. Me pregunto si las inconsistencias están relacionadas con la forma asumida del "Segundo plano principal" de la lente.

Si el ángulo del medio cono es 𝜃', parece que obtengo diferentes valores para 𝜃', dependiendo de la forma asumida del segundo plano principal:

  • Si el segundo plano principal se supone plano, obtengo tan 𝜃' = D/2f
  • Si el segundo plano principal se supone esférico, con radio f, obtengo sen 𝜃' = D/2f

Quizás, como se insinúa en los comentarios, ninguna forma es una representación muy precisa de una lente real, y una respuesta precisa solo puede predecirse mediante el trazado de rayos.

En cualquier caso, ¿es probable que sen 𝜃' = D/2f sea una mejor aproximación que tan 𝜃' = D/2f para una lente fotográfica de propósito general?

[Para lentes lentos, 𝜃' ~= sen 𝜃' ~= tan 𝜃' ~= D/2f, donde 𝜃' está en radianes]

Realmente no entiendo esto, pero leí que un segundo plano principal (casi) esférico es deseable para corregir las aberraciones esféricas.

Si NAi = n sen 𝜃', y número f = 1/(2*NAi):

  • Si sen 𝜃' = D/2f, obtenemos número f = (1/n)(f/D), incluso para lentes rápidos
  • Si tan 𝜃' = D/2f, obtenemos número f = (1/n)(f/D)raíz cuadrada(1+(D/2f)^2)
@scottbb "¿Son consistentes?"
@scottbb Me parece que la pregunta es: "¿Por qué una fórmula conduce a una limitación estricta y la otra no si ambas son correctas?" Después de todo, la pregunta ya muestra la conciencia de la apertura relativa máxima teórica posible.
@MichaelClark Eso no se me ocurrió. Probablemente tengas razón.

Respuestas (3)

Su fórmula número f = 1/(2*NA*), donde NA es la apertura numérica , no es un reflejo exacto de la fórmula presentada en el libro al que hace referencia: número f = 1/(2sinΘ'), a menos que se asuma el índice de refracción es exactamente igual a 1. El índice de refracción del vacío es 1. El índice de refracción del aire a temperatura y presión estándar es 1,000277. Aunque una lente delgada satisfará el requisito de n = 1.000277, ninguna lente compuesta se corrige perfectamente para aberraciones como coma y aberración esférica. Por lo tanto, el número f ≈ 1/(2*NA*) es la fórmula real.

número f = f /D donde f es la distancia focal y D es el diámetro de la pupila de entrada es equivalente al número f ≈ 1/(2*NA*) dentro de las limitaciones del ángulo máximo en el que la luz ingresa a la lente se deja pasar a través de la lente. Creo que algunos se desvían del camino porque suponen que si se agranda la parte frontal del objetivo, la pupila de entrada necesariamente también se agrandará al aumentar el tamaño del objetivo.

Entonces, el número f = f/D es una guía precisa del brillo de una lente enfocada al infinito... y... el número f = n / (2*NA).
Entonces, el número f = f/D es una guía precisa del brillo de una lente enfocada al infinito... y... el número f = n / (2*NA). Parte del libro de Nakamura que me confundió fue "cuando el valor de Θ' es muy pequeño, se puede aproximar..." [como] F=f/D. ¿Es eso incorrecto? Parece haber un problema/inconsistencia con la página de apertura numérica de Wikipedia donde una fórmula que involucra arctan debería usar arcsin, de acuerdo con el comentario debajo de la fórmula que se refiere a la "condición del seno de Abbe", y luego dice "[...] la definición tradicional de lente delgada y la ilustración del número f son engañosas"
@JEJV Cuando Nakamura dice "cuando el valor 𝜃' es muy pequeño...", se refiere a la aproximación de ángulo pequeño , que es simplemente que para 𝜃 pequeño, sen𝜃 ≈ 𝜃. Incluso en 𝜃 = 10°, el error es < 1%. Esta aproximación se usa todo el tiempo en física e ingeniería, a menudo hasta el punto de que nos olvidamos de que se está usando. Eso puede ser un escollo, porque luego extendemos el uso de fórmulas simples derivadas del uso de la aproximación, a áreas donde las fórmulas simples ya no funcionan porque la condición previa de 𝜃 pequeña ya no se cumple.
@scotbb: creo que esta pregunta debería vincularse, pero no sé cómo hacerlo: ¿cuál es la apertura máxima compatible con la montura F de Nikon?
@JEJV El problema con Nikon, o cualquier otro sistema de montura, no tiene nada que ver con los ángulos cuando ingresan a una lente. Más bien, ese problema tiene que ver con el ángulo de la luz proyectada por la parte posterior de la lente que está restringida por una abertura más estrecha entre la lente y la cámara. Si el cono de luz proyectado por la parte posterior de la lente es demasiado ancho para pasar por el orificio en la parte frontal de la cámara, parte de esa luz se perderá. Si el sensor es tan grande que queda sombreado por el orificio en la parte frontal de la cámara, también se producirá un viñeteado intenso.
@scottbb, ¿no debería decir su comentario anterior que "... para Θ pequeño, sinΘ ≈ Θ cuando Θ se expresa en radianes ? Además, dado que tanΘ ≈ Θ también es cierto (cuando Θ se expresa en radianes), entonces tanΘ ≈ sinΘ puede ser deducido.
@MichaelClark correcto en los radianes, buena decisión. Sin embargo, inferir tanΘ ≈ sinΘ sigue siendo problemático, porque cualquiera de los dos (tan o sin) solo se cumple para Θ pequeño. El error ƒ( x ) – x es positivo para ƒ( x ) = tan( x ), y negativo para sin( x ) (nuevamente, como señalas, para x pequeña en radianes). Entonces, establecer uno aproximadamente igual al otro agrava el error. Y de nuevo, no estamos hablando de ángulos pequeños. Estamos hablando del ángulo más grande posible que puede lograr la NA más grande matemáticamente posible (180°). Ese no es un valor válido para la aproximación de ángulo pequeño.
@MichaelClark No estoy hablando de FoV. Me refiero al hecho de que la lente más rápida que puedas conseguir tendrá un número f igual a N = 1/(2×sin(α/2)), donde α es el ángulo del cono que enfoca la luz colimada de esta lente "ideal". sin(α/2) tiene un valor máximo de 1 en α=180°, por lo que la apertura relativa máxima es 0,5. Vea esta respuesta para la derivación de este límite basado en etendue: ¿De qué manera la montura de la lente limita la apertura máxima posible de una lente?
@MichaelClark: la razón por la que mencioné "¿Cuál es la apertura máxima consistente con la montura F de Nikon?" fue que en esa pregunta, hubo alguna mención de si la segunda superficie principal debería ser tratada como plana o esférica. Una segunda superficie principal esférica parece ilustrarse en la Fig. 01 aquí . "En realidad, en lentes con corrección esférica esta superficie no es un plano, es una esfera centrada en el segundo punto focal (F')"

No está claro exactamente lo que está preguntando, pero el brillo de la imagen proyectada por una lente en relación con la escena es una función de la distancia focal dividida por el diámetro de apertura. Esta fórmula esencialmente normaliza las diferencias en la distancia focal entre diferentes lentes.

Por ejemplo, ignorando la absorción de luz por el material de la lente y asumiendo aumentos pequeños (<< 1), una lente de 100 mm con una apertura de 25 mm de diámetro hará la misma proyección de brillo que una lente de 200 mm con una apertura de 50 mm. En el segundo caso, la imagen proyectada tendrá el doble de tamaño en dimensión lineal, por lo tanto ocupará 4 veces el área. Sin embargo, la apertura de 50 mm tiene 4 veces el área de la apertura de 25 mm, por lo que deja entrar la cantidad correcta de luz adicional para compensar que se extienda por el área más grande.

Dado que decir todo lo anterior es engorroso, usamos una notación corta en fotografía. Esa notación es el "número f". El nombre proviene de la expresión f/xx utilizada para expresar aperturas, como f/2.0, f/2.8, f/4.0, f/5.6, f/8.0, etc. En estas expresiones, "f" se refiere a la distancia focal de la lente, y la expresión general indica el diámetro de apertura. Para una lente de 120 mm, f/4 literalmente significa que la apertura es (120 mm)/4 = 30 mm de diámetro.

En fotografía, es conveniente, y se ha convertido en costumbre, pensar en cambios de nivel de luz en factores de 2. La luz que pasa a través de una lente es proporcional a su área de apertura. Cada vez que se duplica el área, el diámetro aumenta en la raíz cuadrada de 2. De ahí provienen los números f comunes. Empezamos con f/1 y aumentamos el denominador en sqrt(2) = 1,414 por cada 2x menos de luz. La secuencia común es por tanto f/1, f/1.4, f/2, f/2.8, f/4, f/5.6, f/8, f/11, f/16, etc.

Estaba confundido si el número f = f / D era una indicación precisa del brillo de una lente sin pérdidas enfocada al infinito, o si alguna otra fórmula era más precisa o reflejaba mejor esta realidad restringida. Nakamura escribió: "cuando el valor de Θ' es muy pequeño, se puede aproximar utilizando la siguiente ecuación en la que el diámetro de los haces de luz incidentes se toma como D. [...] F=f/D". Estoy familiarizado con el uso diario no macro de los números f.
@JEJV: el número F es una indicación precisa que solo normaliza la distancia focal entre lentes. Sin embargo, otros efectos son menores en la práctica. De estos, los dominantes son las pérdidas de lente y la pérdida adicional debido al factor de aumento. El primero suele ser lo suficientemente pequeño como para ignorarlo en la mayoría de los casos. Este último se vuelve significativo cuando se acerca al rango "macro". Por ejemplo, tiene 2 pasos f hacia abajo con un aumento de 1x, -0,3 pasos f con un aumento de 1/10 y -0,14 pasos f con un aumento de 1/20.
Gracias. Entonces, la frase "puede aproximarse " en Nakamura es engañosa, ¿verdad? ¿Y la fórmula NA en Wikipedia que involucra arctan también es incorrecta? Y el arctan deberia ser arcsin?? - Como se discutió en el comentario debajo de la fórmula?
@JEJV: Hay otros efectos reales, como la pérdida de luz fuera del eje.
@JEJV re: Artículo de Wikipedia arctan v. arcsin: No, el artículo de Wikipedia no está mal, per se . Para lentes esféricos, la ecuación es correcta. Pero como se señaló en WP, cuando se habla de lentes con corrección de coma y aberración cromática, uno o ambos planos principales de la lente ya no son planos: el "plano" en sí es curvo. Eso significa que la superficie de la lente no es esférica, lo que significa que la ecuación del fabricante de lentes ideal ya no describe la lente. Una vez que se vuelve no esférico, las ecuaciones simples de forma cerrada ya no se aplican.
@Olin Lathrop: "pérdida de luz fuera del eje": ¿es eso "viñeteado óptico"? - ¿Reducción del área de apertura efectiva vista por haces de luz fuera del eje?
@scottbb: Traté de aclarar un poco mi pregunta. ¿Está diciendo que el cálculo preciso del número f o el ángulo del cono en lentes corregidos requeriría, en general, un trazado de rayos?

La lente de la cámara actúa como la lente de un proyector en el sentido de que proyecta una imagen del mundo exterior sobre la superficie de la película o el chip de imágenes digitales. La distancia focal de la lente revela su poder de magnificación. Estamos hablando del tamaño de las imágenes de los objetos. Una lente de 100 mm proyecta imágenes que son dos veces más grandes que una de 50 mm.

Los aumentos tienen un precio. Cada duplicación de la distancia focal obliga a los rayos que forman la imagen a reproducirse en cuatro veces más área de superficie. Dicho de otra manera, duplique la distancia focal y el brillo de la imagen se reducirá cuatro veces. Por el contrario, si la distancia focal se reduce a la mitad, el brillo de la imagen se cuadruplica. Este cambio de brillo de la imagen se produce como se describe, siempre que el diámetro de trabajo de la apertura permanezca sin cambios.

El cambio de brillo de la imagen con un cambio de distancia focal es un gran problema. Hace que la determinación de la exposición sea un desafío. Esto es especialmente cierto, porque hay una mezcolanza de diferentes lentes de cámara, todos con diferentes distancias focales y diámetros de apertura de trabajo. ¿Cómo podemos cortar a través de la confusión?

Ratio al rescate: Un ratio es un valor adimensional. Recurrimos a la relación focal de nuestras lentes para eliminar el caos. El brillo de la imagen está entrelazado con la distancia focal y el diámetro de trabajo de la apertura. Dividimos la distancia focal por el diámetro de apertura de trabajo y calculamos la "relación focal" (número f para abreviar). Por lo tanto, una lente de 100 mm con una apertura de trabajo de 25 mm funciona con una relación focal de 100 ÷ 25 = 4 (escrito como f/4). La belleza de este método es que cualquier lente que funcione a f/4 deja pasar la misma luz. Esto es cierto incluso si se trata de un telescopio gigante de 100 metros de distancia focal con un diámetro de trabajo de 25 metros, proyecta el mismo brillo de imagen que una lente de 100 mm con un diámetro de apertura de trabajo de 25 mm.

La relación focal o el conjunto de números f/number se basa en la geometría de los círculos. Si multiplica el diámetro de cualquier círculo por la raíz cuadrada de 2 = 1,1416 (está bien redondear a 1,4), ha calculado un círculo revisado con el doble de área de superficie. Por lo tanto, si una lente tiene un diámetro de apertura de 25 mm y desea que esta lente pase 2 veces más luz, entonces 25 X 1,4 = 35. En otras palabras, una apertura de trabajo de 35 mm de diámetro deja pasar 2 veces más luz que una apertura de trabajo de 25 mm. El resultado es 2 veces más brillante en la imagen.

Usando el factor 1.4, surge un conjunto de números. 1 – 1,4 – 2 – 2,8 – 4 – 5,6 – 8 – 11 – 16 – 22 -32 Tenga en cuenta que cada número que va a la derecha es su vecino a la izquierda multiplicado por 1,4. Cada número que va a la izquierda es su vecino a la derecha dividido por 1,4. Esta es la base del venerable conjunto de números f/. Esta relación nos ayuda a controlar el brillo de la imagen, y el incremento es una duplicación o reducción a la mitad de la luz que atraviesa la lente.

Ahora cambiando de tema (tal vez): en mi salón de clases de antaño, a menudo contaba esta historia. Eres el capitán de la Tropa "A" de Caballería. Cien hombres con caballos marchando a través del desierto del sudoeste americano en patrulla. El agua es un problema pero esperas lluvia. Ordenas a las tropas vivaquear para pasar la noche. Ordena a los hombres que caven un hoyo circular de 8 pies de diámetro y lo forren con la tela de su tienda de campaña. Llueve como se esperaba y el pozo comienza a recoger agua de lluvia. Debido a su capacitación en West Point, sabe que un pozo de 8 pies de diámetro es adecuado para recolectar agua de lluvia para sus necesidades. Inesperadamente, un vigía ve acercarse a la Tropa "B": otros 100 hombres con caballos. Ordenas a tus hombres que amplíen el diámetro del foso circular para acumular 200 hombres y caballos.

¿Qué tan grande debe ser el pozo revisado para duplicar la cantidad de agua de lluvia recolectada?

Respuesta: Multiplicas el diámetro del hoyo (8 pies) por 1.4142. Este valor es la raíz cuadrada de 2. La respuesta es 11,3 (redondeado son 11 pies). Usted ordena que el pozo se expanda a 11 pies de diámetro. Sorpresa, este nuevo valor hace que la fosa acumule el doble de agua que antes. ¿Por qué? La superficie (cuenca de captación) ahora tiene el doble de superficie; por lo tanto, puede capturar el doble de la cantidad de lluvia.

¿Qué fórmula para los números f es correcta: f/D o 1/(2NA)?
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