¿Qué forma tendría que tener la Tierra para que un objeto en caída libre siguiera una trayectoria en línea recta?

Luego me preguntó qué forma tendría que tener la Tierra para que un objeto en caída libre siguiera una trayectoria en línea recta. ¿Es posible?

Sí, es posible, bajo circunstancias muy extrañas (efectivamente puramente hipotéticas).

Supongamos que la forma de la tierra fuera una capa esférica hueca de densidad uniforme y supongamos que en lugar de vivir en el exterior de la tierra, vivimos en el interior de la capa. En este caso la trayectoria de un proyectil será una línea recta.

La razón por la que hay una trayectoria en línea recta en este caso es porque en este caso no hay fuerza gravitatoria sobre el proyectil (dado que no hay masa dentro de la parte interior de la esfera y dado que la fuerza del caparazón convenientemente se cancela exactamente en todas partes dentro de la concha ).

Un objeto seguirá una trayectoria en línea recta si la aceleración es en la dirección de su velocidad. En un campo gravitatorio, la aceleración tiene una dirección fija. La trayectoria será recta solo si la velocidad está en esa dirección. En un planeta esférico, será recto si la velocidad inicial es hacia arriba o hacia abajo.

No existe un campo gravitacional que pueda hacer que la trayectoria sea recta dada una velocidad inicial arbitraria. (Excepto un campo que es$0$en todos lados.)

Si te refieres a líneas rectas en la superficie esférica de la tierra, entonces los objetos en caída libre ya siguen trayectorias en línea recta (si tienen una velocidad inicial dada en la dirección de la aceleración o simplemente caen desde una altura sin componentes laterales de velocidad) . Dado que la Tierra es esférica, la intensidad de la fuerza gravitacional varía con la distancia al centro de la Tierra según

Le dije que solo en una Tierra plana un objeto en caída libre seguiría una trayectoria parabólica.

Dudo que en una Tierra plana los objetos sigan trayectorias parabólicas. Si asumiéramos que la tierra tiene la forma de un disco plano, la fuerza gravitacional sería mayor en el centro del disco y los objetos caerían libremente hacia la superficie en línea recta solo en el centro de este disco.

A medida que se alejara más de este centro, la gravedad tiraría más y más horizontalmente hacia este centro, de modo que un objeto que se dejara caer en el borde de este disco podría caer en diagonal (o casi horizontalmente, dependiendo de qué tan grande sea el radio de este disco). El movimiento de caída libre directo hacia abajo sería posible solo en el centro del disco.

Luego me preguntó qué forma tendría que tener la Tierra para que un objeto en caída libre siguiera una trayectoria en línea recta. ¿Es posible?

Si te refieres a una trayectoria horizontal en línea recta (paralela al suelo), entonces si la tierra fuera un disco plano muy grande, como se indicó anteriormente, la fuerza gravitacional apuntaría al centro del disco. Dado que el disco es muy grande, en las regiones exteriores del disco, si dejaras caer un objeto, se movería (casi) en una línea horizontal tan recta.

Me gusta la respuesta de Shell, ya que no es trivial. La única otra respuesta es la trivial: sin forma, como en ninguna Tierra.

Ahora bien, si ella quiere una línea recta con una aceleración distinta de cero, entonces no tiene suerte.

Imagina la transformación de una Tierra esférica en una Tierra plana. ¿En qué direcciones se produce la distorsión? ¿Cómo se vería si la distorsión continuara en las mismas direcciones? Así es, la superficie se doblaría hacia arriba en un cuenco (con la superficie exterior original de la Tierra en el interior), luego en una botella, luego en una esfera: la Tierra hueca de la respuesta de hft.

Esto debería ser fácil de visualizar para un niño de 8 años. El punto aquí es que la idea de una hipotética Tierra hueca no surge de la nada.

Ahora imagina la transformación de una caída elíptica en una caída parabólica. ¿En qué se diferencian? ¿Qué cambia al convertir una elipse en una parábola? ¿Puede esa distorsión continuar en las mismas direcciones?

Aparte del hecho de que la elipse es cerrada y la parábola abierta, un arco parabólico es visualmente más plano que un arco elíptico. Las mentes inquisitivas de los niños de 8 años quieren saber: ¿qué tan plano puede volverse?

Ya se mencionó en las respuestas, pero solo quiero reforzar que en términos de una oportunidad para enseñar física a un niño pequeño, la siguiente respuesta es realmente muy buena: viajaría en línea recta si no hubiera gravedad en todos, por ejemplo si no hubiera Tierra en absoluto. De hecho, los objetos en "caída libre" en el espacio profundo, lejos de cualquier planeta, se mueven en línea recta.

Esta es, por supuesto, la primera ley de movimiento de Newton: un objeto permanecerá quieto o seguirá moviéndose en línea recta si ninguna fuerza actúa sobre él. Así que esta es una gran oportunidad para enseñar un principio fundamental de la física.

(Usé las palabras "caída libre" arriba. Se podría argumentar que si los objetos en el espacio profundo no experimentan una fuerza gravitatoria, entonces no están realmente "cayendo", pero el punto es que moverse libremente sin fuerza gravitatoria es solo un caso límite de "caída", a saber, aquel en el que el campo gravitatorio es cero).

Un objeto en caída libre es acelerado hacia el centro de gravedad de la Tierra. Eso significa que su trayectoria será una línea recta si y solo si , no tiene componente de velocidad normal a la línea entre él y el centro de la Tierra. En mi cabeza, me imagino que eso es cierto independientemente de la forma que tome la Tierra.