¿Qué distancia se considera 'cercana' para el noveno vecino más cercano de una galaxia?

Si las galaxias estuvieran distribuidas al azar (un proceso espacial de Poisson), entonces la probabilidad de tener$N$galaxias dentro de un radio$r$la esfera es$\Pr[N]=\lambda^N e^{-\lambda} / N!$donde$\lambda = (4\pi /3)\rho r^3$. Así que la función de distribución acumulada de la distancia al$N$el vecino es

$$\Pr[R_N<r]=1-e^{-\alpha r^3}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{\alpha^n r^{3n}}{n!}$$ ( $\alpha=4\pi\rho/3$para ser breve). Tomando la derivada para obtener el PDF da $$f(r) = e^{-\alpha r^3}\left [(3\alpha r^2) + 3\sum_{n=1}^{N-2} \frac{\alpha^n r^{3n-1}}{(n-1)!}\right ].$$ Si bien uno puede intentar tomar la derivada de esto para obtener la moda (o establecer el CDF en 1/2 para encontrar la mediana), esto se vuelve algebraicamente complicado, por lo que probablemente lo mejor sea una solución numérica. Entiendo que la moda del noveno vecino es 2,44 veces la moda del primer vecino.

El problema aquí es, por supuesto, que las galaxias reales están muy agrupadas. Eso provocará una reducción (potencialmente grande) en la distancia media.

De hecho, la mayoría de las galaxias tienen galaxias satélite, por lo que, a menos que uno tenga una definición en la encuesta que las excluya, la respuesta será que el noveno vecino más cercano está muy cerca (en el caso de la Vía Láctea, la distancia sería de unos 30 kpc). Por lo tanto, cualquier respuesta dependerá de los criterios de inclusión en este catálogo en particular.