¿Qué aproximaciones se requieren para la fórmula del período sinódico?

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¿Qué aproximaciones se requieren para la fórmula del período sinódico?

orbita
Espacio
astronomia observacional

gilbertohasnofb

La siguiente fórmula se utiliza para calcular el período sinódico entre dos cuerpos que orbitan alrededor de un mismo tercero:

\frac{1}{T_{s y norte}} = \frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}}

$\dfrac{1}{T_\mathrm{syn}} = \dfrac{1}{T_{1}} - \dfrac{1}{T_{2}}$

Esta fórmula se puede usar, por ejemplo, para deducir el período de un planeta en el Sistema Solar, dado que $T_\mathrm{syn}$ se puede medir (período entre dos observaciones consecutivas de un planeta en la misma posición relativa en el cielo) y tomando $T_1$ como 365,26 días.

He leído que esta fórmula se deriva de:

w_{s y norte} = w_{1} - w_{2} = \frac{2 π}{T_{s y norte}} = \frac{2 π}{T_{1}} - \frac{2 π}{T_{2}} ∴ \frac{1}{T_{s y norte}} = \frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}}

$w_{\mathrm{syn}} = w_{1} - w_{2} = \dfrac{2\pi}{T_\mathrm{syn}} = \dfrac{2\pi}{T_{1}} - \dfrac{2\pi}{T_{2}} \therefore \dfrac{1}{T_\mathrm{syn}} = \dfrac{1}{T_{1}} - \dfrac{1}{T_{2}}$

Mi pregunta es: ¿qué aproximaciones se requieren para que este resultado sea cierto? ¿Las órbitas deben ser circulares? ¿Deben estar estos dos cuerpos en el mismo plano alrededor del tercero? Además, considerando el caso de órbitas elípticas pero aún suponiendo que la masa del tercer cuerpo $M ≫ m_{1}$ y $M ≫ m_{2}$ , ¿sería realmente constante el período sinódico del cuerpo 2 observado desde el cuerpo 1?

usuario21

El cálculo se realiza asumiendo órbitas circulares donde el ángulo desde el cuerpo central aumenta linealmente con el tiempo. Estoy bastante seguro de que los cuerpos en órbita deben ser coplanares para que esto funcione, pero no estoy 100% seguro.

gilbertohasnofb

@barrycarter Hola Barry, gracias por el comentario. En ese caso, ¿sabrías si existe una fórmula que tenga en cuenta las órbitas elípticas?

usuario21

Eso se complica porque el tiempo entre sincronizaciones puede variar para cada órbita dependiendo de la posición. Envíeme un ping en Google Talk y le mostraré algunas fórmulas para elipses (no es fácil: el área igual en el mismo tiempo se complica)

Respuestas (1)

¿Qué aproximaciones se requieren para la fórmula del período sinódico?

El cálculo se realiza asumiendo órbitas circulares donde el ángulo desde el cuerpo central aumenta linealmente con el tiempo. Estoy bastante seguro de que los cuerpos en órbita deben ser coplanares para que esto funcione, pero no estoy 100% seguro.
@barrycarter Hola Barry, gracias por el comentario. En ese caso, ¿sabrías si existe una fórmula que tenga en cuenta las órbitas elípticas?
Eso se complica porque el tiempo entre sincronizaciones puede variar para cada órbita dependiendo de la posición. Envíeme un ping en Google Talk y le mostraré algunas fórmulas para elipses (no es fácil: el área igual en el mismo tiempo se complica)

ross ure anderson · Answer 1

La formula :-

\begin{matrix} (A) & \frac{1}{T_{s y norte}} = \frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}} \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{A} \frac{1}{T_{syn}} = \frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}} \end{equation}$

porque el período sinódico entre dos planetas que orbitan alrededor del Sol se deriva de manera similar a la derivación del período sinódico de la Luna: -

\begin{matrix} (B) & \frac{1}{T_{s y norte}} = \frac{1}{T_{s i d}} - \frac{1}{T_{mi}} \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{B} \frac{1}{T_{syn}} = \frac{1}{T_{sid}} - \frac{1}{T_{e}} \end{equation}$

donde $T_{sid}$ es el periodo sideral de la Luna y $T_{e}$ es el período sideral de la Tierra.

La fórmula (B) se obtiene haciendo las siguientes suposiciones simplificadas sobre los movimientos del Sol, la Tierra y la Luna:

La Tierra tiene una órbita circular alrededor del Sol de velocidad constante y un período fijo $T_{e}$
La Luna tiene una órbita circular alrededor de la Tierra de velocidad constante y un período fijo $T_{sid}$ . (Así, la trayectoria de la Luna respecto al Sol fijo es un epiciclo , es decir, un círculo pequeño cuyo centro se mueve a lo largo de la circunferencia de un círculo más grande, en este caso la órbita de la Tierra).
Las dos órbitas anteriores están confinadas a un plano común (el plano de la eclíptica )
Desde la dirección que estamos viendo (es decir, 'Norte'), tanto la Tierra como la Luna orbitan en sentido contrario a las agujas del reloj.

y (A) se deriva con suposiciones similares sobre las órbitas planetarias.

(Vea esta respuesta para la derivación de la fórmula (B) para la Luna; para los planetas, la derivación de (A) sería prácticamente la misma).

En realidad, las órbitas no son perfectamente circulares y no están exactamente en el mismo plano. La aproximación de la órbita circular significa que la velocidad del planeta es constante, pero en el caso de una órbita elíptica la velocidad varía.

¿Qué aproximaciones se requieren para la fórmula del período sinódico?

gilbertohasnofb

usuario21

gilbertohasnofb

usuario21

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ross ure anderson

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