Púlsares: ¿Cómo miden los astrónomos los cambios de minuto en el período (~picosegundos por año)?

Supongamos que el púlsar está girando hacia abajo a una velocidad uniforme. Entonces tiene un período$P$y una tasa de cambio de periodo$dP/dt$eso es positivo y constante (en la práctica también hay derivadas segunda, tercera, cuarta, etc. de las que preocuparse, pero esto no cambia el principio de mi respuesta).

Ahora supongamos que puede medir el período con mucha precisión; supongamos que observa el púlsar hoy y mide sus señales de radio durante unas horas, realiza una transformada de Fourier de la señal y obtiene un pico grande y agradable con un período de 0,1 segundos (por ejemplo ).

Con ese período, puede "doblar" los datos para crear un perfil de pulso promedio. Este perfil de pulso puede luego correlacionarse con mediciones subsiguientes del pulso para determinar una compensación entre el tiempo predicho de "fase cero" en el perfil, calculado usando el período de 0,1 s, y el tiempo real de fase cero. Esto a menudo se denomina curva "OC" o curva de residuos.

Si tiene el período correcto y$dP/dt=0$, luego los residuales se dispersarán aleatoriamente alrededor de cero sin tendencia a medida que realiza observaciones posteriores (consulte la gráfica (a) de Lorimer & Kramer 2005, The Handbook of Pulsar Astronomy). Si el período inicial fue erróneo, los residuos comenzarían inmediatamente a apartarse de cero en una tendencia lineal.

Sin embargo, si tiene el período correcto, pero$dP/dt$es positivo, entonces la curva de residuos tendrá la forma de una parábola (ver gráfica (b)).

Si tiene derivadas segundas, terceras, etc. en el período, esto afectará la forma de la curva de residuos de manera correspondiente.

La curva de residuos se modela para estimar el tamaño de las derivadas de$P$. La razón que$dP/dt$se puede medir con tanta precisión es que los púlsares giran rápido y tienen formas de pulso repetibles, por lo que los cambios en la fase del pulso se hacen evidentes rápidamente y se pueden rastrear durante muchos años.

Matemáticamente funciona algo como esto. La fase$\phi(t)$es dado por

$$\phi(t) \simeq \phi_0 + 2\pi \frac{\Delta t}{nP} - \frac{2\pi}{2}\frac{(\Delta t)^2}{nP^2} \frac{dP}{dt} + ...,$$ donde $\phi_0$es una fase cero arbitraria, $\Delta t$es el tiempo entre la primera y la última observación y $n$es el número entero de vueltas completas que ha dado el púlsar durante ese tiempo. Si el período es aproximadamente correcto, entonces $n = int(\Delta t/P)$.

La "curva residual" estaría dada por

$$\phi_0 - 2\pi\frac{\Delta t}{nP} -\phi(t) \simeq \frac{2\pi}{2}\frac{(\Delta t)^2}{nP^2} \frac{dP}{dt} + ...,$$

Por ejemplo, si el período de un$P \sim 0.01$segundo púlsar cambiado por un picosegundo en un año, entonces habría un residuo acumulado de casi$10^{-4}$segundos después de 1 año de observación. Dependiendo de qué tan "agudo" sea el pulso, entonces este cambio de alrededor del 1% en la fase del pulso podría ser detectable.

Quizás no hace falta decirlo, pero hay una gran cantidad de pequeños efectos y correcciones que hacer para obtener esta sincronización de alta precisión. Necesita saber exactamente cómo se mueve la Tierra en su órbita. El movimiento propio del púlsar en el cielo también tiene un efecto. Estos y más se pueden encontrar en el libro de Lorimer y Kramer, pero también hay un resumen aquí .

A pesar de mi comentario, aquí hay una solución a un problema de tarea que hace el cálculo . No especifica el mecanismo exacto que convierte el momento angular (también conocido como energía de rotación) en radiación electromagnética. En este caso, es solo una afirmación del problema (justificado en parte con lo que dije en mi comentario: la energía debe venir de algún lado, y si no parece haber otras fuentes que no sean el momento angular, entonces debe ser procedente del momento angular).

Reformulando ligeramente el contenido de ese enlace en aras de la accesibilidad futura:

El púlsar está irradiando energía (que observamos como ondas de radio). Dado que la energía total del universo debe conservarse, esta energía de radio debe provenir de alguna parte. En este caso, se extrae de la energía cinética de rotación del púlsar: por lo tanto, se ralentiza gradualmente. Estamos interesados ​​en una relación entre la luminosidad del púlsar y su período de rotación. En general, la energía cinética de un cuerpo en rotación está dada por

$$E=\frac{1}{2} I \omega^2 = 2\pi^2 I P^2.$$ Dado que la luminosidad es la derivada temporal de la energía, ahora estamos en condiciones de relacionar las cantidades que nos interesan: $$L= \frac{\partial E}{\partial t} = -4\pi^2 I P^{-3} \frac{\partial P}{\partial t}.$$ Reorganizando esto en términos de la cantidad que queremos, la tasa de cambio del período, da: $$\frac{\partial P}{\partial t} = \frac{-L P^3}{4\pi^2 I}.$$ Si asumimos que esta estrella de neutrones es una esfera homogénea (no es realmente cierto, sino una simple aproximación), entonces su momento de inercia es simplemente: $$I_{\text{sphere}}=\frac{2}{5}M R^2,$$ y entonces la tasa de cambio final del período que obtenemos es: $$\frac{\partial P}{\partial t} = -\frac{5}{8\pi ^2} \frac{L P^3}{MR^2}.$$

Entonces, siempre que tengamos medidas de las cantidades en el lado derecho, podemos cambiarlas para obtener un valor para la tasa de cambio en el período. El más difícil de medir suele ser el momento de inercia (donde la masa,$M$, y radio,$R$, los términos provienen). Estos son más fáciles de obtener a partir de sistemas binarios eclipsantes, ya que entonces hay buenas relaciones entre sus trayectorias orbitales y sus masas.