¿Puede la gravedad acelerar un objeto más allá de la velocidad de la luz?

Este es el clásico problema de "arrojar una piedra a un agujero negro". Se describe en detalle en el problema de muestra 3 en el capítulo 3 de Exploring Black Holes de Edwin F.Taylor y John Archibald Wheeler. Por cierto, recomiendo encarecidamente este libro si está interesado en aprender sobre los agujeros negros. Requiere algunas matemáticas, por lo que no es un libro para el público en general, pero las matemáticas son bastante básicas en comparación con los libros de texto GR habituales.

La respuesta a su pregunta es que nadie observa que la piedra (protón en su ejemplo) se mueva más rápido que la luz, sin importar qué tan rápido la arroje hacia el agujero negro.

Expresé esto cuidadosamente porque en GR no tiene sentido hacer preguntas como "qué tan rápido se mueve la piedra" a menos que especifique de qué observador está hablando. Generalmente consideramos dos tipos diferentes de observador. El observador de Schwarzschild se sienta en el infinito (o lo suficientemente lejos para estar efectivamente en el infinito) y el observador de la concha se sienta a una distancia fija del horizonte de eventos (disparando los cohetes de su nave espacial para permanecer en su lugar).

Estos dos observadores ven cosas muy diferentes. Para el observador de Schwarzschild, la piedra acelera inicialmente, pero luego se detiene hasta detenerse cuando se encuentra con el horizonte. El observador de Schwarzschild nunca verá la piedra cruzar el horizonte de eventos, o no, a menos que esté preparado para esperar un tiempo infinito.

El observador de la concha ve que la piedra pasa volando a una velocidad inferior a la velocidad de la luz, y cuanto más se acerca el observador de la concha al horizonte de sucesos, más rápido ve pasar la piedra. Si el observador de la concha pudiera sentarse en el horizonte de sucesos (no pueden hacerlo sin un cohete infinitamente poderoso), verían pasar la piedra a la velocidad de la luz.

Para calcular la trayectoria de una piedra lanzada, comienza calculando la trayectoria de una piedra que cae desde el reposo en el infinito. No voy a repetir todos los detalles del libro de Taylor y Wheeler ya que están un poco involucrados y puedes consultar el libro. En su lugar, simplemente citaré el resultado:

Para el observador de Schwarzschild:

$$\frac{dr}{dt} = - \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \left( \frac{2M}{r} \right)^{1/2}$$

Para el observador de conchas:

$$\frac{dr_{shell}}{dt_{shell}} = - \left( \frac{2M}{r} \right)^{1/2}$$

Estas ecuaciones usan unidades geométricas, por lo que la velocidad de la luz es 1. Si pones$r = 2M$para encontrar las velocidades en el horizonte de eventos, encontrará que el observador de Schwarzschild obtiene$v = 0$y el (hipotético) observador de capa obtiene$v = 1$(es decir$c$).

Pero esto fue para una piedra que comenzó en reposo desde el infinito. Supongamos que le damos a la piedra un poco de energía extra arrojándola. Esto significa que corresponde a un objeto que parte del infinito con una velocidad finita$v_\infty$. definiremos$\gamma_\infty$como el valor correspondiente del factor de Lorentz . De nuevo solo voy a dar el resultado, que es:

Para el observador de Schwarzschild:

$$\frac{dr}{dt} = - \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \left[ 1 - \frac{1}{\gamma_\infty^2}\left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \right]^{1/2}$$

Para el observador de conchas:

$$\frac{dr_{shell}}{dt_{shell}} = - \left[ 1 - \frac{1}{\gamma_\infty^2}\left( 1 - \frac{2M}{r} \right) \right] ^{1/2}$$

Tal vez no sea obvio a partir de un rápido vistazo a las ecuaciones que ni$dr/dt$ni$dr_{shell}/dt_{shell}$excede el infinito, pero si aumentas la velocidad inicial de tu piedra a casi$c$El valor de$\gamma_\infty$va a$\infty$y por lo tanto 1/$\gamma^2$va a cero. En este límite es fácil ver que la velocidad nunca excede$c$.

En sus comentarios Jerry dice varias veces que la velocidad supera$c$sólo después de cruzar el horizonte de sucesos. Si bien Jerry sabe mucho más que yo sobre GR, lo criticaría por esto. Ciertamente no es cierto para el observador de Schwarzschild, y en principio ni siquiera puede tener un observador de caparazón dentro del horizonte de eventos.

El comentario de Jerry es perfecto. Solo explico algo que he entendido...

Aconsejaría que los agujeros negros normales son mucho mejores que los supermasivos. Porque son los más grandes y, por lo tanto, tienen menos efecto gravitacional en su protón.

De todos modos, la respuesta es NO debido a dos cosas: en primer lugar, las leyes de Newton (como la aceleración de los protones) son inutilizables en relación con el horizonte de eventos de un agujero negro. Y segundo, la relatividad generalmente restringe un movimiento más rápido que la luz ..! La relatividad concluye que medirías estos movimientos relativamente y no absolutamente. Entonces, estamos usando un observador como usted. La relatividad general dice que la gravedad influye tanto en el espacio como en el tiempo para doblarse, tomando así un camino más corto que nuestros muchachos llaman: "un movimiento geodésico"...

De acuerdo. Ahora, a tu pregunta... Supongamos que estás enviando algo similar a un rayo láser de protones. Si puede ver esos protones , definitivamente verá un haz desplazado hacia el rojo (cada vez más tenue con la distancia) a medida que se acerca al horizonte (ignoremos que desaparece ) . Ahora, todos los caminos de los protones giran hacia el horizonte de eventos del agujero negro donde el espacio-tiempo también se curva más y más. Incluso la luz se dobla, tomando así el camino más corto (que parece estar acelerado). En lugar de mencionar "acelerado", la relatividad dice que se "curva". Por lo tanto, concluiría que nunca cruzarías la velocidad de la luz en ningún momento.

También estoy citando el comentario de Jerry de que, los protones parecerían viajar más rápido que la luz en relación a ti, pero no puedes observar eso en ese caso porque no podemos observar nada dentro del agujero negro.