Problema de fuerza de flotación

El usuario Fibonatic le ha pedido que defina "esferas fluidas" en los comentarios, pero dado que se está refiriendo esencialmente a parte de una prueba famosa o el Principio de Arquímedes, estoy seguro de que está buscando una justificación de la la siguiente oración:

La fuerza ejercida por el fluido circundante sobre un objeto sumergido depende únicamente de cómo se ve la superficie de ese objeto y cómo se sitúa en el agua.

Este es realmente el componente necesario para completar la famosa prueba del Principio de Arquímes a la que me refiero más arriba.

Para ver por qué esa afirmación es verdadera, recuerde que en cada punto$\mathbf x$en el fluido, podemos asociar un número$P(\mathbf x)$que da la presión en el fluido en ese punto. Esto significa que la fuerza ejercida sobre un elemento de área dirigida pequeña$d\mathbf a$de una superficie es$-P(\mathbf x)d\mathbf a$(dónde$d\mathbf a$se toma apuntando hacia afuera como es estándar). La fuerza neta sobre cualquier superficie.$S$se obtiene descomponiéndolo en pequeños elementos de área y sumando las fuerzas sobre todos ellos. En otras palabras, se obtiene haciendo una integral;

$$\begin{align} \mathbf F[S] = -\int_S P(\mathbf x)d\mathbf a. \end{align}$$ Esto significa que cuando pones un objeto bajo el agua, la fuerza que el agua ejerce sobre su superficie depende solo de la forma de su superficie y de dónde se encuentra en el agua, no de su composición. En particular, sería lo mismo si estuviera compuesto de agua o de madera o cualquier otro material que tenga una superficie bien definida $S$para esa materia.