Pregunta sobre el comportamiento transitorio en el circuito del amplificador operacional

Considere el siguiente circuito. El interruptor se cierra en t = 0 . La fuente de tensión es V 0 mi − t / t 0 . Suponemos que op es ideal, por lo que no hay diferencia de voltaje entre los terminales de entrada y no hay corriente a través de la entrada.

Enfoque 1

Para t > 0 inmediatamente tenemos que V = R R + R V 0 mi − t / t 0 = 1 2 V 0 mi − t / t 0 .

Dejar i L ser la corriente a través del inductor de V o tu t a V . Vemos eso i L = V / R = V 0 2 R mi − t / t 0 . Tenemos V o tu t − V = L d i L d t = − V 0 L 2 R t 0 mi − t / t 0 , y encontramos V o tu t = V − V 0 L 2 R t 0 mi − t / t 0 = V 0 2 ( 1 − L t 0 R ) mi − t / t 0 .

Enfoque 2

Analicemos el circuito en el dominio de Laplace. Por lo tanto, dejamos que la fuente de voltaje sea V 0 mi − t / t 0 H ( t ) en el dominio del tiempo, donde H ( t ) es la función de paso. La transformada de Laplace de esto es V 0 1 s + 1 / t 0 .

De la misma manera que antes, encontramos V ( s ) = V 0 2 1 s + 1 / t 0 . También tenemos V o tu t − V = s L s L + R V o tu t , de donde V o tu t = s L + R R V = V 0 L 2 R s + R / L s + 1 / t 0 = V 0 L 2 R ( 1 + R / L − 1 / t 0 s + 1 / t 0 ) . Tomando el inverso da V o tu t = V 0 L 2 R d ( t ) + V 0 2 ( 1 − L t 0 R ) mi − t / t 0 .

Preguntas

Aparentemente, obtenemos una distribución delta con el segundo enfoque. Obviamente, esto no puede ocurrir en un circuito real, así que supongo que el problema radica de alguna manera en nuestras suposiciones sobre la idealidad del OP.

¿Es entonces en general cierto que no podemos analizar el comportamiento transitorio de los circuitos OP ideales en el dominio de Laplace? (¿O más bien, si lo hacemos, tenemos que descuidar todos los términos no físicos?).

esquemático

simular este circuito : esquema creado con CircuitLab

Respuestas (2)

Obviamente, esto no puede ocurrir en un circuito real.

Tienes varios problemas.

Está utilizando derivados en algo que es discontinuo. Eso por lo general tiende a no funcionar. Además, el voltaje de salida del opamp irá al infinito en t=0. ahora te explico...

El interruptor se cierra en t = 0 . La fuente de tensión es V 0 mi − t / t 0 .

Entonces, después de las dos resistencias bastante inútiles que dividen esto por 2, cuando t = 0 − que es un pequeño instante antes de t=0, tenemos V = 0 . entonces en t = 0 el interruptor se cierra y tenemos V = V 0 / 2 , entonces V es discontinua.

Nuestro amplificador operacional agradable y perfecto debe ajustar su voltaje de salida para mantener sus dos entradas al mismo potencial. Entonces, en t = 0, la salida del amplificador operacional aumentará. Sin embargo, hay un inductor perfecto en el circuito de retroalimentación. Y la corriente en un inductor no puede cambiar instantáneamente. Y el voltaje de entrada negativo del opamp V es R i L . Y en t=0, i L = 0 .

Por lo tanto, el voltaje en las dos entradas del opamp no es igual. IN+ está en Vo/2 e IN- está en 0V. Entonces, el modelo opamp perfecto deja de funcionar, pero tienes otros problemas. Para el amplificador operacional ideal, solo hay una opción... su voltaje de salida salta instantáneamente a +infinito.

Ahora, en t = 0 voltaje a través del inductor que es V i norte d tu C t o r = L d i L d t es así +infinito.

Si desciframos lo suficiente, derramamos las piezas sobre el piso, luego las rodamos hacia adelante y hacia atrás con un tanque, como hiciste, podemos integrar eso y concluir que ∫ V i norte d tu C t o r = L i L y por lo tanto justo después de t=0, más o menos, más o menos, i L = 1 / L ∫ + ∞ = V o / 2 R ...

¡Tada! Hecho.

Ahora, su problema es que no se dio cuenta de esto, por lo que obtuvo un resultado incorrecto en el "Método 1". No hay culpa, todos cometemos errores, y el modelo opamp ideal también invita a cometer errores, ya que cualquier desviación del punto de funcionamiento ideal crea condiciones imposibles.

No revisé los cálculos de la Transformada de Laplace, pero examinemos el circuito nuevamente. Desechemos el interruptor y ambas resistencias, y usemos el nodo "V" como entrada. Ahora tenemos un amplificador no inversor estándar de pantano. Su ganancia es:

GRAMO = 1 + L s / R

Ahora, como es obvio a partir de esta ecuación, G tiende al infinito a medida que aumenta la frecuencia. Esto funciona como un diferenciador. Pero se le da una señal discontinua como entrada. Por lo tanto, deriva una entrada no derivable. Por lo tanto, sus resultados de Laplace tienen un delta.

A una frecuencia infinitamente alta, la impedancia del inductor es infinita, por lo que es un circuito abierto y podemos eliminarlo del esquema: en entradas discontinuas, el opamp ya no tiene retroalimentación, por lo que no se puede aplicar el modelo opamp ideal.

En la vida real, los amplificadores operacionales no son infinitamente rápidos, por lo tanto, el retraso de fase causado por el inductor en el circuito de retroalimentación convertirá al amplificador operacional en un oscilador.

Así que este circuito es una trampa ;)

1. ¿Por qué los dos resistores son inútiles? 2. ¿Dónde dividimos por cero como dijiste arriba? 3. A alta frecuencia, el inductor está abierto y no tenemos la retroalimentación, por lo que no podemos aplicar la propiedad V+ = V- aquí. Entonces, ¿cómo calcula Vout para ese circuito? El método debería funcionar para cualquier frecuencia, no solo para baja frecuencia, cuando la retroalimentación aún está disponible. 4. Si es posible, ¿puede hablar más sobre cómo se produce la oscilación en el amplificador operacional de la vida real?
1. porque introducen un problema trivial ("dividir por dos") que resta valor al panorama general (el circuito no funcionará). 2. era una referencia a un meme de Internet, ahora lo eliminé. 3. A alta frecuencia, como usted dice, la retroalimentación desaparece, por lo que la ganancia del circuito se vuelve infinita, por lo que la salida se recortará. Por lo tanto, el circuito no es lineal y no podemos usar herramientas lineales (como la transformada de Laplace) para estudiarlo, el resultado será poco realista.
Tenga en cuenta que podríamos considerar el opamp como un comparador, pero creo que esa no era la intención. 4- Lea sobre en.wikipedia.org/wiki/Nyquist_stability_criterion y el criterio más simple de Bode-Nyquist, teoría de control. El inductor introduce un polo, y mientras que el opamp ideal no tiene polos (tiene una respuesta de frecuencia perfecta), un opamp real tendrá algunos polos en su función de transferencia de bucle abierto (porque no es infinitamente rápido). Usando los criterios más simples en un diagrama de Bode de la función de transferencia de bucle abierto, el cambio de fase introducido por los polos adicionales causará oscilación.
(¡Difícil de explicar sin explicar toda la teoría de control! Si estás en la escuela de ingeniería, tendrás una clase sobre esto, de lo contrario, puedes encontrar material en Internet, es bastante necesario cuando usas opamps si quieres que sean estable...)
Gracias por las respuestas. Entonces, con el circuito anterior, a baja frecuencia, el circuito aún está en el dominio lineal y aún podemos usar la teoría lineal como transformada de Laplace para estudiarla como el enfoque 2 anterior. Pero a alta frecuencia, el amplificador operacional se comporta como un comparador, por lo que debemos tratarlo de manera diferente. ¿Existe una frecuencia de umbral exacta donde podamos clasificar "baja frecuencia" y "alta frecuencia" aquí?
La salida será proporcional a la derivada de la entrada, por lo que la entrada debe ser derivable (!!) y su derivada está limitada dentro del voltaje de salida permitido del opamp. En la práctica, debido a que los amplificadores operacionales reales tienen cambio de fase, supongo que sería inestable sin importar cuál sea la señal de entrada de todos modos.
Tenga en cuenta que en los circuitos reales siempre hay ruido. Un "diferenciador perfecto" como este tiene una ganancia que aumenta con la frecuencia, por lo que amplificará el ruido de HF... esto suele ser un problema con los diferenciadores, la entrada tiene que ser muy limpia, o se obtiene más ruido en la salida que ¡señal! Por lo que suele añadirse una limitación de ancho de banda, para amplificar en la banda de interés, y rechazar el resto.

Obviamente, esto no puede ocurrir en un circuito real, así que supongo que el problema radica de alguna manera en nuestras suposiciones sobre la idealidad del OP.

O eso o la idealidad del inductor.

Un amplificador operacional real no emitiría un voltaje más alto que el voltaje de su fuente de alimentación.

Un inductor real tendrá una capacitancia paralela parásita equivalente que limita el voltaje real necesario para conducir una corriente a través de él (por un corto tiempo) para igualar las entradas del amplificador operacional.

¿Es entonces en general cierto que no podemos analizar el comportamiento transitorio de los circuitos OP ideales en el dominio de Laplace?

En general, no se puede crear un verdadero diferenciador ideal con componentes de circuitos reales.

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