Pregunta engañosa que involucra encontrar el campo magnético dada la ecuación de onda para el campo eléctrico y su solución

Question

Pregunta engañosa que involucra encontrar el campo magnético dada la ecuación de onda para el campo eléctrico y su solución

RESPLANDOR

Considere la ecuación de onda para linealmente $x$ ondas polarizadas que viajan en el $\pm z$ direcciones:

$\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} {\vec{mi}}_{X}}{\partial t^{2}} = C^{2} \frac{\partial^{2} {\vec{mi}}_{X}}{\partial z^{2}} \end{matrix}$ $\frac{\partial^2\vec E_x}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2\vec E_x}{\partial z^2}\tag{1}$ La solución general a la ecuación $(1)$ es ${\vec{mi}}_{X} = {\vec{mi}}_{+} (q) + {\vec{mi}}_{-} (s)$ $\vec E_x=\vec E_{+}(q)+\vec E_{-}(s)$ dónde $\vec E_{+}$ y $\vec E_{-}$ son funciones arbitrarias. $q = z - C t$ $q=z-ct$ & $s = z + C t$ $s=z+ct$

Calcular la forma general del campo magnético en términos de $\vec E_{+}$ y $\vec E_{-}$

Estoy atascado desde el principio.

Tengo la solución a esta pregunta, pero el problema es que no puedo entender la solución del autor.

Entonces, en cambio, haré preguntas sobre la solución del autor, que es la siguiente:

Obviamente podemos escribir
$\begin{matrix} (a) & {\vec{B}}_{y} = {\vec{B}}_{+} (q) + {\vec{B}}_{-} (s) \end{matrix}$ $\vec B_y=\vec B_{+}(q)+\vec B_{-}(s)\tag{a}$ y $\begin{matrix} (b) & \frac{\partial {\vec{B}}_{y}}{\partial t} = - \frac{\partial {\vec{mi}}_{X}}{\partial z} \end{matrix}$ $\frac{\partial \vec B_y}{\partial t}=-\frac{ \partial \vec E_x}{\partial z}\tag{b}$ entonces $\begin{matrix} (C) & \frac{\partial q}{\partial t} |_{z} \cdot \frac{d {\vec{B}}_{+}}{d q} + \frac{\partial s}{\partial t} |_{z} \cdot \frac{d {\vec{B}}_{-}}{d s} = - (\frac{\partial q}{\partial z} |_{t} \cdot \frac{d {\vec{mi}}_{+}}{d q} + \frac{\partial s}{\partial z} |_{t} \cdot \frac{d {\vec{mi}}_{-}}{d s}) \end{matrix}$ $\frac{\partial q}{\partial t}\Bigg |_z\cdot\frac{d\vec B_{+}}{dq}+\frac{\partial s}{\partial t}\Bigg |_z\cdot\frac{d\vec B_{-}}{ds}=-\left(\frac{\partial q}{\partial z}\Bigg |_t\cdot\frac{d\vec E_{+}}{dq}+\frac{\partial s}{\partial z}\Bigg |_t\cdot\frac{d \vec E_{-}}{ds}\right)\tag{c}$ $\begin{matrix} (d) & ⟹ - C \frac{d {\vec{B}}_{+}}{d q} + C \frac{d {\vec{B}}_{-}}{d s} = - \frac{d {\vec{mi}}_{+}}{d q} - \frac{d {\vec{mi}}_{-}}{d s} \end{matrix}$ $\implies -c\frac{d\vec B_{+}}{dq}+c\frac{d\vec B_{-}}{ds}=-\frac{d\vec E_{+}}{dq}-\frac{d\vec E_{-}}{ds}\tag{d}$ por lo tanto $\begin{matrix} (mi) & {\vec{B}}_{y} = \frac{1}{C} [{\vec{mi}}_{+} (q) - {\vec{mi}}_{-} (s)] \end{matrix}$ $\vec B_y=\frac{1}{c}\left[\vec E_{+}(q)-\vec E_{-}(s)\right]\tag{e}$

entiendo completamente como $(\mathrm{d})$ sigue desde $(\mathrm{c})$ .

No entiendo por qué "obviamente puedes escribir $\vec B_y=\vec B_{+}(q)+\vec B_{-}(s)$ "; Cuál es el origen de esta ecuación: $(\mathrm{a})$ ? Está lejos de ser obvio para mí que puedas escribir $\vec B_y=\vec B_{+}(q)+\vec B_{-}(s)$ .

Además, ¿cuál es el origen de la ecuación? $(\mathrm{b})$ ? ¿Qué significa? ¿Es una reformulación de una de las ecuaciones de Maxwell?

Por último, ¿cómo $(\mathrm{c})$ seguir desde $(\mathrm{b})$ ? Observo que el autor está usando la regla de la cadena aquí, pero no estoy seguro de la lógica.

Si alguien pudiera ayudarme dándome pistas o explicaciones a alguna de las preguntas que he planteado, estaría muy agradecido.

EDITAR:

Gracias a @Farcher ahora entiendo parte $(\mathrm{a})$ y pude escribir una respuesta propia elaborando partes $(\mathrm{b})$ y $(\mathrm{c})$ .

EDITAR 2:

La única parte de la solución de los autores que todavía no entiendo es cómo $(\mathrm{e})$ sigue desde $(\mathrm{d})$ .

reorganizando $(\mathrm{d})$ tenemos eso

\begin{matrix} (d) & C (\frac{d {\vec{B}}_{-}}{d s} - \frac{d {\vec{B}}_{+}}{d q}) = - (\frac{d {\vec{mi}}_{-}}{d s} + \frac{d {\vec{mi}}_{+}}{d q}) \end{matrix}

$c\left(\frac{d\vec B_{-}}{ds}-\frac{d\vec B_{+}}{dq}\right)=-\left(\frac{d\vec E_{-}}{ds}+\frac{d\vec E_{+}}{dq}\right)\tag{d}$ lo sabemos

{\vec{mi}}_{X} = {\vec{mi}}_{+} (q) + {\vec{mi}}_{-} (s)

$\vec E_x=\vec E_{+}(q)+\vec E_{-}(s)$ y

{\vec{B}}_{y} = {\vec{B}}_{+} (q) + {\vec{B}}_{-} (s)

$\vec B_y=\vec B_{+}(q)+\vec B_{-}(s)$

reorganizando $(\mathrm{d})$ además encuentro que

\begin{matrix} (d) & C \frac{d {\vec{B}}_{-}}{d s} + \frac{d {\vec{mi}}_{-}}{d s} = C \frac{d {\vec{B}}_{+}}{d q} - \frac{d {\vec{mi}}_{+}}{d q} \end{matrix}

$c\frac{d\vec B_{-}}{ds}+\frac{d\vec E_{-}}{ds}=c\frac{d\vec B_{+}}{dq}-\frac{d\vec E_{+}}{dq}\tag{d}$

Mi primer pensamiento fue integrar ambos lados, pero dado que el LHS depende de $s$ y el RHS en $q$ no puede ser correcto escribir

\begin{matrix} (?) & \int (C \frac{d {\vec{B}}_{-}}{d s} + \frac{d {\vec{mi}}_{-}}{d s}) d s = \int (C \frac{d {\vec{B}}_{+}}{d q} - \frac{d {\vec{mi}}_{+}}{d q}) d q \end{matrix}

$\int \left(c\frac{d\vec B_{-}}{ds}+\frac{d\vec E_{-}}{ds}\right)ds=\int \left(c\frac{d\vec B_{+}}{dq}-\frac{d\vec E_{+}}{dq}\right)dq\tag{?}$

Así que estoy atascado en este punto.

alguien me podria explicar como puedo obtener el resultado

\begin{matrix} (mi) & {\vec{B}}_{y} = \frac{1}{C} [{\vec{mi}}_{+} (q) - {\vec{mi}}_{-} (s)] \end{matrix}

$\bbox[5px,border:2px solid red]{\vec B_y=\frac{1}{c}\left[\vec E_{+}(q)-\vec E_{-}(s)\right]}\tag{e}$ de

\begin{matrix} (d) & - C \frac{d {\vec{B}}_{+}}{d q} + C \frac{d {\vec{B}}_{-}}{d s} = - \frac{d {\vec{mi}}_{+}}{d q} - \frac{d {\vec{mi}}_{-}}{d s} ? \end{matrix}

$\bbox[yellow]{-c\frac{d\vec B_{+}}{dq}+c\frac{d\vec B_{-}}{ds}=-\frac{d\vec E_{+}}{dq}-\frac{d\vec E_{-}}{ds}}\tag{d}\,\,?$

AccidentalFourierTransformar

No permitamos que las publicaciones parezcan historiales de revisión .

RESPLANDOR

@AccidentalFourierTransform Siempre me dijeron que no editara una pregunta de tal manera que las respuestas existentes quedaran obsoletas, de ahora en adelante, este es el propósito de actualizar la pregunta con una EDICIÓN para que las respuestas dadas aún estén en contexto. ¿Me estás diciendo en serio que todos estos años he estado haciendo lo incorrecto y que debería borrar todas las ediciones? Si eso es así, entonces cumpliré. Realmente no me importa si las ediciones están ahí o no, solo quiero que se responda esta pregunta.

AccidentalFourierTransformar

Si siente que su "EDICIÓN" es lo suficientemente drástica como para cambiar la pregunta, no debería ser una edición, debería ser una nueva pregunta. Si el "EDITAR" no es demasiado drástico, debe incorporarse sin problemas en la publicación. De cualquier manera, actualizar la pregunta con "EDITAR" al final está muy mal visto, especialmente cuando la actualización cambia el enfoque de la pregunta y comprende más del 50% de su longitud/contenido.

RESPLANDOR

@AccidentalFourierTransform "debería ser una pregunta nueva", pero todos los antecedentes y el contexto ya están en esta pregunta. Hacer una nueva pregunta significaría que tendría que copiar toda la pregunta nuevamente y luego simplemente cambiar la parte al final. ¿Es esta realmente la manera de manejar estas situaciones?

AccidentalFourierTransformar

Sí, está perfectamente bien tener varias publicaciones con los mismos antecedentes y contexto, siempre que hagan preguntas diferentes. Permítanme reiterar, para asegurarnos de que estamos en la misma página: si la actualización cambia la pregunta, está bien y se recomienda crear un nuevo hilo. Si la actualización no cambia la pregunta, no debe relegarla al final de la publicación, sino incorporarla directamente en la publicación.

RESPLANDOR

@AccidentalFourierTransform Bien, entendido. Si este escenario vuelve a ocurrir, copiaré los antecedentes y el contexto en una nueva pregunta, gracias.

Respuestas (3)

Pregunta engañosa que involucra encontrar el campo magnético dada la ecuación de onda para el campo eléctrico y su solución

No permitamos que las publicaciones parezcan historiales de revisión .
@AccidentalFourierTransform Siempre me dijeron que no editara una pregunta de tal manera que las respuestas existentes quedaran obsoletas, de ahora en adelante, este es el propósito de actualizar la pregunta con una EDICIÓN para que las respuestas dadas aún estén en contexto. ¿Me estás diciendo en serio que todos estos años he estado haciendo lo incorrecto y que debería borrar todas las ediciones? Si eso es así, entonces cumpliré. Realmente no me importa si las ediciones están ahí o no, solo quiero que se responda esta pregunta.
Si siente que su "EDICIÓN" es lo suficientemente drástica como para cambiar la pregunta, no debería ser una edición, debería ser una nueva pregunta. Si el "EDITAR" no es demasiado drástico, debe incorporarse sin problemas en la publicación. De cualquier manera, actualizar la pregunta con "EDITAR" al final está muy mal visto, especialmente cuando la actualización cambia el enfoque de la pregunta y comprende más del 50% de su longitud/contenido.
@AccidentalFourierTransform "debería ser una pregunta nueva", pero todos los antecedentes y el contexto ya están en esta pregunta. Hacer una nueva pregunta significaría que tendría que copiar toda la pregunta nuevamente y luego simplemente cambiar la parte al final. ¿Es esta realmente la manera de manejar estas situaciones?
Sí, está perfectamente bien tener varias publicaciones con los mismos antecedentes y contexto, siempre que hagan preguntas diferentes. Permítanme reiterar, para asegurarnos de que estamos en la misma página: si la actualización cambia la pregunta, está bien y se recomienda crear un nuevo hilo. Si la actualización no cambia la pregunta, no debe relegarla al final de la publicación, sino incorporarla directamente en la publicación.
@AccidentalFourierTransform Bien, entendido. Si este escenario vuelve a ocurrir, copiaré los antecedentes y el contexto en una nueva pregunta, gracias.

RESPLANDOR · Answer 1

Para mi propia referencia (y otros si están interesados) voy a ampliar lo que @Farcher escribió en su respuesta por partes $(\mathrm{b})$ y $(\mathrm{c})$ :

para mostrar parte $(\mathrm{b})$ de la Ley de Faraday:

\begin{aligned} \frac{\partial {\vec{B}}_{y}}{\partial t} & = - \vec{\nabla} \times {\vec{mi}}_{X} \\ = - | \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial X} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ {mi}_{X} & 0 & 0 \end{matrix} | \\ = - (\frac{\partial {mi}_{X}}{\partial z} \hat{j} - \frac{\partial {mi}_{X}}{\partial y} \hat{k}) \\ = - \frac{\partial {\vec{mi}}_{X}}{\partial z} \end{aligned}

$\begin{align}\frac{\partial \vec B_y}{\partial t}&= -\vec \nabla \times \vec E_x\\&=- \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & 0 & 0 \\ \end{vmatrix}\\&=-\left(\frac{\partial E_x}{\partial z }\hat j-\frac{\partial E_x}{\partial y}\hat k\right)\\&=-\frac{\partial \vec E_x}{\partial z}\end{align}$

como el $\hat k$ componente desaparece desde $E_x$ no depende de $y$ entonces su derivada es cero.

El $\vec B_y$ solo tiene un $\hat j$ componente a medida que oscila en el $y$ dirección. Después de tomar la curvatura del campo eléctrico sólo el $\hat j$ el componente sobrevivió; así que esto tiene mucho sentido ya que los componentes del vector deben coincidir para que se mantenga la igualdad.

Por lo tanto, concluimos que

\frac{\partial {\vec{B}}_{y}}{\partial t} = - \frac{\partial {\vec{mi}}_{X}}{\partial z}

$\frac{\partial \vec B_y}{\partial t}=-\frac{\partial \vec E_x}{\partial z}$ que es de hecho la ecuación

(b)

$(\mathrm{b})$

por parte $(\mathrm{c})$ tenemos

{\vec{B}}_{y} = {\vec{B}}_{y} ({\vec{B}}_{+}, {\vec{B}}_{-})

$\vec B_{y}=\vec B_{y}(\vec B_{+},\vec B_{-})$

{\vec{B}}_{+} = {\vec{B}}_{+} (q) y {\vec{B}}_{-} = {\vec{B}}_{-} (s)

$\vec B_{+}=\vec B_{+}(q) \qquad\text{and}\qquad \vec B_{-}=\vec B_{-}(s)$

q = q (z, t) y s = s (z, t)

$q=q(z,t) \qquad\text{and}\qquad s=s(z,t)$

Entonces, el diagrama de árbol apropiado que conecta las variables dependientes en la parte superior con las variables independientes en la parte inferior es:

Del diagrama de árbol vemos que

\frac{\partial {\vec{B}}_{y}}{\partial t} = \frac{\partial {\vec{B}}_{y}}{\partial {\vec{B}}_{+}} \cdot \frac{d {\vec{B}}_{+}}{d q} \cdot \frac{\partial q}{\partial t} + \frac{\partial {\vec{B}}_{y}}{\partial {\vec{B}}_{-}} \cdot \frac{d {\vec{B}}_{-}}{d s} \cdot \frac{\partial s}{\partial t}

$\frac{\partial\vec B_y}{\partial t}=\frac{\partial\vec B_y}{\partial\vec B_{+}}\cdot\frac{d\vec B_{+}}{d q}\cdot \frac{\partial q}{\partial t}+\frac{\partial\vec B_y}{\partial\vec B_{-}}\cdot\frac{d\vec B_{-}}{d s}\cdot \frac{\partial s}{\partial t}$

ahora desde

\frac{\partial {\vec{B}}_{y}}{\partial {\vec{B}}_{+}} = \frac{\partial {\vec{B}}_{y}}{\partial {\vec{B}}_{-}} = 1

$\frac{\partial\vec B_y}{\partial\vec B_{+}}=\frac{\partial\vec B_y}{\partial\vec B_{-}}=1$ y

\frac{\partial q}{\partial t} = - C, \frac{\partial s}{\partial t} = C

$\frac{\partial q}{\partial t}=-c\,,\qquad \frac{\partial s}{\partial t}=c$ por lo tanto puedo escribir

\frac{\partial {\vec{B}}_{y}}{\partial t} = - C \frac{d {\vec{B}}_{+}}{d q} + C \frac{d {\vec{B}}_{-}}{d s}

$\fbox{$\color{blue}{\frac{\partial\vec B_y}{\partial t}=-c\frac{d\vec B_{+}}{d q}+c\frac{d\vec B_{-}}{d s}}$}$

cual es el LHS de $(\mathrm{c})$

El RHS de $(\mathrm{c})$ es completamente análogo al método utilizado para obtener el LHS. Pero como referencia, voy a escribir los pasos explícitamente.

Similar a antes tenemos

{\vec{mi}}_{X} = {\vec{mi}}_{X} ({\vec{mi}}_{+}, {\vec{mi}}_{-})

$\vec E_{x}=\vec E_{x}(\vec E_{+},\vec E_{-})$

{\vec{mi}}_{+} = {\vec{mi}}_{+} (q) y {\vec{mi}}_{-} = {\vec{mi}}_{-} (s)

$\vec E_{+}=\vec E_{+}(q) \qquad\text{and}\qquad \vec E_{-}=\vec E_{-}(s)$

q = q (z, t) y s = s (z, t)

$q=q(z,t) \qquad\text{and}\qquad s=s(z,t)$

Entonces, el diagrama de árbol apropiado para este caso es:

y de ella vemos que

- \frac{\partial {\vec{mi}}_{X}}{\partial z} = - (\frac{\partial {\vec{mi}}_{X}}{\partial {\vec{mi}}_{+}} \cdot \frac{d {\vec{mi}}_{+}}{d q} \cdot \frac{\partial q}{\partial z} + \frac{\partial {\vec{mi}}_{X}}{\partial {\vec{mi}}_{-}} \cdot \frac{d {\vec{mi}}_{-}}{d s} \cdot \frac{\partial s}{\partial z})

$-\frac{\partial\vec E_x}{\partial z}=-\left(\frac{\partial\vec E_x}{\partial\vec E_{+}}\cdot\frac{d\vec E_{+}}{d q}\cdot \frac{\partial q}{\partial z}+\frac{\partial\vec E_x}{\partial\vec E_{-}}\cdot\frac{d\vec E_{-}}{d s}\cdot \frac{\partial s}{\partial z}\right)$

ahora desde

\frac{\partial {\vec{mi}}_{X}}{\partial {\vec{mi}}_{+}} = \frac{\partial {\vec{mi}}_{X}}{\partial {\vec{mi}}_{-}} = 1

$\frac{\partial\vec E_x}{\partial\vec E_{+}}=\frac{\partial\vec E_x}{\partial\vec E_{-}}=1$ y

\frac{\partial q}{\partial z} = \frac{\partial s}{\partial z} = 1

$\frac{\partial q}{\partial z}=\frac{\partial s}{\partial z}=1$ por lo tanto puedo escribir

- \frac{\partial {\vec{mi}}_{X}}{\partial z} = - \frac{d {\vec{mi}}_{+}}{d q} - \frac{d {\vec{mi}}_{-}}{d s}

$\fbox{$\color{red}{-\frac{\partial\vec E_x}{\partial z}=-\frac{d\vec E_{+}}{d q}-\frac{d\vec E_{-}}{d s}}$}$

cual es el lado derecho de $(\mathrm{c})$ .

AccidentalFourierTransformar · Answer 2

Dejar $c=1$ para simplificar la notación.

Lo sabemos

B_{-}^{'} (s) + {mi}_{-}^{'} (s) = B_{+}^{'} (q) - {mi}_{+}^{'} (q)

$\boldsymbol B'_-(s)+\boldsymbol E'_-(s)=\boldsymbol B'_+(q)-\boldsymbol E'_+(q)$ donde el primo denota diferenciación.

Tenga en cuenta que $s$ y $q$ son variables independientes. El lhs depende de $s$ solamente, y el derecho en $q$ solo. Por lo tanto, ambos lados deben ser constantes:

\begin{aligned} B_{-}^{'} (s) + {mi}_{-}^{'} (s) & = α \\ B_{+}^{'} (q) - {mi}_{+}^{'} (q) & = α \end{aligned}

$\begin{aligned} \boldsymbol B'_-(s)+\boldsymbol E'_-(s)&=\boldsymbol\alpha\\ \boldsymbol B'_+(q)-\boldsymbol E'_+(q) & =\boldsymbol \alpha \end{aligned}$ para algún vector constante

α

$\boldsymbol\alpha$ . Estas ecuaciones son triviales de integrar:

\begin{aligned} B_{-} (s) + {mi}_{-} (s) & = α s + β \\ B_{+} (q) - {mi}_{+} (q) & = α q + γ \end{aligned}

$\begin{aligned} \boldsymbol B_-(s)+\boldsymbol E_-(s)&=\boldsymbol \alpha s+\boldsymbol\beta\\ \boldsymbol B_+(q)-\boldsymbol E_+(q) & =\boldsymbol \alpha q+\boldsymbol\gamma \end{aligned}$ para algunas constantes de integración

β, γ

$\boldsymbol\beta,\boldsymbol\gamma$ .

De esto, obtenemos

B_{y} = ({mi}_{+} (q) - {mi}_{-} (s)) + z α^{'} + β^{'}

$\boldsymbol B_y=(\boldsymbol E_+(q)-\boldsymbol E_-(s))+z\boldsymbol \alpha'+\boldsymbol\beta'$ con

α^{'} = 2 α

$\boldsymbol\alpha'=2\boldsymbol\alpha$ y

β^{'} = β + γ

$\boldsymbol\beta'=\boldsymbol\beta+\boldsymbol\gamma$ .

Esta es la solución más general consistente con sus ecuaciones. Las condiciones de contorno, que no especificó, presumiblemente establecieron $\boldsymbol\alpha'=\boldsymbol\beta'=\boldsymbol 0$ .

granjero · Answer 3

(a) Una onda electromagnética tiene un campo magnético $B_+/B_-\,\hat y$ oscilando exactamente en fase con y en ángulo recto a un campo eléctrico $E_+/E_- \, \hat x$ ambos en ángulo recto con la dirección de propagación $\hat z$ .

(b) es la ley de Faraday en forma diferencial $\dfrac{\partial \vec B}{\partial t}= -\vec \nabla \times \vec E$

(c) es la aplicación de la regla de la cadena .

Pregunta engañosa que involucra encontrar el campo magnético dada la ecuación de onda para el campo eléctrico y su solución

RESPLANDOR

EDITAR:

EDITAR 2:

AccidentalFourierTransformar

RESPLANDOR

AccidentalFourierTransformar

RESPLANDOR

AccidentalFourierTransformar

RESPLANDOR

Respuestas (3)

RESPLANDOR

AccidentalFourierTransformar

granjero

¿Es posible crear formas arbitrarias de campos magnéticos?

Ondas EM, ¿Cómo se propagan?

¿Es un campo eléctrico radiación electromagnética?

¿El campo eléctrico de la luz es independiente del campo magnético de la luz?

Movimiento de un electrón en un campo magnético y eléctrico [cerrado]

¿Por qué los componentes eléctricos y magnéticos de una onda EM no son complementarios? [duplicar]

Líneas de campo magnético y eléctrico entre conductores

Componentes eléctricos y magnéticos de EMP nuclear

Determine la dirección del campo eléctrico y magnético en la onda EM plana

Dirección del campo BBB de la regla de la mano derecha para ondas electromagnéticas