Potencial gravitacional fuera de los puntos de Lagrange o puntos de Lagrange

Sí, el cuerpo libre se mueve hacia afuera, pero hay dos cosas críticas que debe saber para interpretar esta afirmación correctamente.

Primero, este es el potencial efectivo, teniendo en cuenta la gravedad y la fuerza centrífuga . Tiene esta forma porque entramos en el marco no inercial corrotando con las dos masas. Matemáticamente, el potencial es

$$\Phi_\mathrm{eff}(\vec{r}) = -G \left(\underbrace{\frac{M_1}{\lvert \vec{r}-\vec{r}_1 \rvert}}_\text{potential from mass 1} + \underbrace{\frac{M_2}{\lvert \vec{r}-\vec{r}_2 \rvert}}_\text{potential from mass 2} + \underbrace{\frac{M_1+M_2}{2\lvert \vec{r}_1-\vec{r}_2 \rvert^3} \lvert \vec{r} \rvert^2}_\text{centrifugal component}\right),$$ y sólo decrece a lo lejos por ese último término.

Físicamente, esto se debe a que colocar un objeto "en reposo" en este marco corresponde a que se mueva con la misma frecuencia angular que$M_1$y$M_2$sobre el centro de masa. Si inicializa un objeto$5\ \mathrm{AU}$en una trayectoria tangencial con la misma velocidad angular que la Tierra, se moverá demasiado rápido para una órbita circular a esa distancia, y por lo tanto se alejará del Sol.

Esto no significa que el objeto desaparecerá para siempre, y eso nos lleva al segundo punto, explicado en la respuesta de Chay: No se han tenido en cuenta todas las fuerzas efectivas; en particular, la fuerza de Coriolis no surge de$\Phi_\mathrm{eff}$. La fuerza de Coriolis depende de la velocidad, por lo que no tiene un potencial escalar que dependa únicamente de la posición, por lo que no se incluye en el análisis hasta el momento. Una vez que su objeto de prueba comience a moverse en su marco giratorio, experimentará una desviación perpendicular que eventualmente lo obligará a girar.

La estabilidad de L4 y L5 no es del todo obvia al observar el potencial gravitacional escalar, porque la estabilidad de las órbitas cerca de esos puntos es muy dinámica: en un marco giratorio como el de la imagen, tienes una velocidad adicional. potencial de Coriolis dependiente, así como el escalar gravitatorio y centrípeto dependiente de la posición ilustrado. Así que aquí hay un segundo potencial, un campo vectorial que va como$\Omega\hat{z}$(hasta un cartel).

Cuando un objeto es perturbado radialmente desde L4, acelera hacia afuera, pero esto no es lo mismo que moverse hacia afuera monótonamente. Debido a que estamos en un marco giratorio, el movimiento radial da como resultado una aceleración de Coriolis que actúa normalmente a su velocidad, lo que finalmente lo lleva de regreso a donde comenzó.

No conozco ninguna prueba de que esto definitivamente estabilice el problema en el caso de grandes masas de prueba, pero para pequeñas masas de prueba se puede linealizar y demostrar que es dinámicamente estable.